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已知函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]單調遞增，在區間[1，2）單調遞減．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若A（x₀，f（x₀））在函數f（x）的圖象上，求證點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f（x）的圖象上；
（Ⅲ）是否存在實數b，使得函數g（x）=bx²-1的圖象與函數f（x）的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數b的值；若不存在，試說明理由

已知函數f（x）=m（x+

1

x

）的圖象與h（x）=（x+

1

x

）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在（0，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c圖象上一點M（1，m）處的切線方程為y-2=0，其中a，b，c為常數．
（Ⅰ）函數f（x）是否存在單調減區間？若存在，則求出單調減區間（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函數f（x）的極值點，求證：函數f（x）的圖象關于點M對稱．

已知函數f（x）=ax³+

1

2

sinθx²-2x+c的圖象經過點(1，

37

6

)，且在區間（-2，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
（1）證明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若對于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

45

2

恒成立，試問：這樣的m是否存在，若存在，請求出m的范圍；若不存在，說明理由．