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1.函數y=x³+x的單調增區間為(   )

A.(-∞,+∞)                   B.(0,+∞)

C.(-∞,0)                     D.不存在

分析 本題考查利用導數求函數的單調區間.

解 ∵y′=3x²+1>0恒成立，

∴y=x³+x在(-∞,+∞)上為增函數，沒有減區間

答案 A

2.若函數f(x)=x²+bx+c的圖象的頂點在第四象限,則函數f′(x)的圖象是（   ）

分析 本題主要考查二次函數及導數的基礎知識.

解 利用導數公式求出導函數,從而確定圖象.

∵f(x)=x²+bx+c的圖象的頂點在第四象限,

∴->0,即b<0.

∵f′(x)=2x+b(b<0),∴圖象A為所求.

答案 A

3.★右圖是函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是 （   ）

A.在區間(-2,1)內f(x)是增函數

B.在(1,3)內f(x)是減函數

C.在(4,5)內f(x)是增函數

D.在x=2時f(x)取到極小值

分析 本題主要考查函數的單調性、極值、最值與導函數的關系.

解 在(-2,1)上,導函數的符號有正有負,所以函數f(x)在這個區間上不是單調函數;同理,函數在(1,3)上也不是單調函數.在x=2的左側,函數在(-,2)上是增函數,在x=2的右側,函數在(2,4)上是減函數,所以在x=2時,f(x)取到極大值;在(4,5)上導數的符號為正,所以函數在這個區間上為增函數.

答案 C

4.下列說法正確的是（  ）

A.函數在閉區間上的極大值一定比極小值大

B.函數在閉區間上的最大值一定是極大值

C.對于f(x)=x³+px²+2x+1,若|p|<,則f(x)無極值

D.函數f(x)在區間(a,b)上一定存在最值

分析 本題主要考查函數的最值與極值的關系,加深對最值與極值概念的理解.

解 函數在閉區間上的極大值與極小值的大小關系不確定;最大值并不一定是極大值,最大值有可能在區間端點處取得;函數在開區間上不一定存在最值;對C選項,f′(x)=3x²+2px+2,其中Δ=4p²-24=4(p²-6),當|p|<時,Δ<0,所以方程f′(x)=0無實根,即不存在導數為零的點.所以函數f(x)無極值.

答案 C

5.若函數f(x)=x³-ax²+1在(0,2)內單調遞減，則實數a的取值范圍是(    )

A.a≥3         B.a=2           C.a≤3             D.0<a<3

分析 本題主要考查導數的應用.利用函數的單調性及二次函數的圖象確定參數的范圍.

解 f′(x)=3x²-2ax=3x(x-a),由f(x)在（0，2）內單調遞減，得3x(x-a)≤0,即a≥2,

∴a≥3.

答案A

6.★若f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函數,則(    )

A.b²-4ac>0                B.b>0,c>0

C.b=0,c>0                D.b²-3ac<0

分析 本題考查導數與函數單調性的關系.

解 f′(x)=3ax²+2bx+c.

要使函數f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函數,

只需f′(x)>0,即3ax²+2bx+c>0(a>0)對任意x∈R恒成立,

只需(2b)²-4×3ac<0,整理得b²-3ac<0.

答案 D

7.已知函數f(x)=ax³+(2a-1)x²+2,若x=-1是y=f(x)的一個極值點,則a的值為(   )

A.2            B.-2            C.          D.4

分析 某點的導數為零是該點為極值點的必要不充分條件.

解 f′(x)=3ax²+2(2a-1)x.

∵x=-1是y=f(x)的一個極值點,

∴3a×(-1)²+2(2a-1)×(-1)=0.

∴a=2.

答案 A

8.在區間(0,+∞)內，函數y=e^x-x是(    )

A.增函數           B.減函數           C.先增后減           D.先減后增

分析 本題考查利用求導的方法求函數在給定區間上的單調性.

解 ∵y′=e^x-1,又x∈(0,+∞),

∴e^x>1.∴e^x-1>0.∴y′>0.

答案 A

9.函數y=f(x)=lnx-x在區間(0,e］上的最大值為(    )

A.1-e        B.-1          C.-e         D.0

分析 本題考查利用求導的方法求函數在閉區間上的最大值.

解 y′=-1,令y′=0,即x=1,在（0，e］上列表如下：

x

(0,1)

1

(1,e)

e

y′

+

0

-

y

增函數

極大值－１

減函數

１－e

由于f(e)=1-e,而-1＞1-e,從而y_最大=f(1)=-1.

答案 B

10.函數y=x⁵-x³-2x，則下列判斷正確的是(   )

A.在區間（-1，1）內函數為增函數

B.在區間（-∞,-1)內函數為減函數

C.在區間(-∞,1)內函數為減函數

D.在區間(1,+∞)內函數為增函數

分析 本題考查利用導數求函數單調區間的方法以及一元高次不等式的解法.

解 y′=5x⁴-3x²-2=(5x²+2)(x²-1)

=(5x²+2)(x+1)(x-1).

∵5x²+2>0恒成立,

∴當x∈(-1,1)時，y′<0,則f(x)為減函數;

當x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時 ，y′>0,則f(x)為增函數.故選D.

答案 D

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.函數f(x)=x³-3x²+7的極大值是        .

分析 本題考查利用求導的方法求函數的極值.

解 f′(x)=3x²-6x.

令f′(x)=0,得x=0或x=2.

作出函數f′(x)=3x²-6x的圖象.

因為當x∈(-∞,0)時，f(x)是增函數；當x∈(0,2)時，f(x)是減函數,

所以函數在x=0處有極大值f(0)=7.

答案 7

12.函數y=4x₂+的單調增區間為　　　　　　.

分析 本題考查利用求導的方法求比較復雜的函數的單調區間.對于非常規函數,求導不失為一種好方法.

解 y′=8x-.要求增區間,只需y′>0,即8x->0.

解得x>.

所以函數的單調增區間為(,+∞).

答案 (,+∞)

13.函數y=3x²-2lnx的單調減區間為        .

分析 本題考查常見函數的導數及導數與函數單調性的關系.

解 y′=6x-.

∵6x-<0<0x(3x²-1)<0

x<-或0<x<.

又∵x>0,∴0<x<,

即函數的單調減區間為(0,).

答案 (0,)

14.函數y=x⁴-8x²+2在［-1，3］上的最大值為          .

分析 本題考查函數在閉區間上的最大值.

解法一 在y=(x²-4)²-14中把x²視為一個整體.

∵-1≤x≤3,

∴0≤x²≤9.

∴y_最大=(9-4)²-14=11.

解法二 y′=4x³-16x,令y′=0,

即4x³-16x=0.

解得x=0或x=±2,列表如下：

x

(-1,0)

0

(0,2)

2

(2,3)

y′

+

0

-

0

+

y

增函數

極大值２

減函數

極小值－１４

增函數

又∵f(-1)=-5,f(3)=11,故函數在區間［-1，3］上的最大值為11.

答案　11

15.(本小題滿分8分)已知函數y=ax與y=-在區間（0，+∞)上都是減函數，試確定函數y=ax³+bx²+5的單調區間.

分析 本題主要考查利用導數確定函數的單調區間.可先由函數y=ax與y=-的單調性確定a、b的取值范圍，再根據a、b的取值范圍去確定函數y=ax³+bx²+5的單調區間.

解 ∵函數y=ax與y=-在區間（0，+∞)上是減函數，

∴a<0,b<0.                   2分

由y=ax³+bx²+5,得y′=3ax²+2bx.

令y′>0，即3ax²+2bx>0,∴<x<0.

因此當x∈(,0)時，函數為增函數;      4分

令y′<0,即3ax²+2bx<0,

∴x<或x>0.                         6分

因此當x∈(-∞,)時，函數為減函數;

x∈(0,+∞)時，函數也為減函數.          ?8分

16.★(本小題滿分8分)當室內的有毒細菌開始增加時,就要使用殺菌劑.剛開始使用的時候,細菌數量還會繼續增加,隨著時間的增加,它增加幅度逐漸變小,到一定時間,細菌數量開始減少.如果使用殺菌劑t小時后的細菌數量為b(t)=10⁵+10⁴t-10³t².

(1)求細菌在t=5與t=10時的瞬時速度;

(2)細菌在哪段時間增加,在哪段時間減少?為什么?

分析 本題考查導數的幾何意義及利用導數知識解決實際問題的能力.

解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,                       2分

b′(t)|_t=5=-2 000×5+10 000=0,

b′(t)|_t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,

即細菌在t=5與t=10時的瞬時速度分別為0和-10 000.   4分

(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,

由-2 000t+10 000<0,得t>5,                            6分

即細菌在t∈(0,5)時間段數量增加,在t∈(5,+∞)時間段數量減少.       8分

17(本小題滿分8分)已知a為實數,f(x)=(x²-4)(x-a).

(1)求導數f′(x);

(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.

分析 本題主要考查函數、導數、不等式等基礎知識,考查分析推理和知識的綜合應用能力.求函數在閉區間的最值,只需比較導數為零的點與區間端點處的函數值的大小即可.

解 (1)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a,

∴f′(x)=3x²-2ax-4.          2分

(2)由f′(-1)=0,得a=.      3分

此時有f(x)=(x²-4)(x-),

∴f′(x)=3x²-x-4.

由f′(x)=0,得x=或x=-1.   5分

又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,                  7分

∴f(x)在［-2,2］上的最大值為,最小值為.       8分

18.★(本小題滿分10分)某產品按質量分為10個檔次,生產第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內產量減少3件.在相同的時間內,最低檔的產品可生產60件.問在相同的時間內,生產第幾檔次的產品的總利潤最大?有多少元?

分析 在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產、生活中經常用到,在數學上這類問題往往歸結為求函數的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數的最值.但無論采取何種方法都必須在函數的定義域內進行.

解法一 設相同的時間內,生產第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產品利潤y最大.         2分

依題意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］            4分

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                       8分

顯然,當x=9時,y_max=864(元),

即在相同的時間內,生產第9檔次的產品的總利潤最大,最大利潤為864元.   10分

解法二 由上面解法得到y=-6x²+108x+378.

求導數,得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解得x=9.因為x=9∈［1,10］,y只有一個極值點,所以它是最值點,即在相同的時間內,生產第9檔次的產品利潤最大,最大利潤為864元.

19.(本小題滿分10分)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?

(2)瓶子半徑多大時,每瓶飲料的利潤最小?

分析 本題考查導數的應用及利用導數知識解決實際問題的能力.

解 由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是

y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.      2分

令f′(r)=0.8π(r²-2r)=0.

當r=2時,f′(r)=0;

當r∈(0,2)時,f′(r)<0;

當r∈(2,6)時,f′(r)>0.      4分

因此,當半徑r>2時,f′(r)>0,它表示f(r)單調遞增,即半徑越大,利潤越高;半徑r<2時,f′(r)<0,它表示f(r)單調遞減,即半徑越大,利潤越低.           6分

(1)半徑為6 cm時,利潤最大.        8分

(2)半徑為2 cm時,利潤最小,這時f(2)<0,表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本,此時利潤是負值.                        10分