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1.式子1²+2²+3²+…+n²=在(   )

A.n為任何自然數(shù)時都成立

B.n=1,2時成立,n=3時不成立

C.n=4時成立,n=5時不成立

D.n=3時成立,n=4時不成立

解析用數(shù)學(xué)歸納法證題的前提是分清等式兩邊的構(gòu)成情況,就本題而言,它的左邊是從1開始的n個連續(xù)正整數(shù)的平方和的形式,可采用直接代入法求解.

答案 D

2.設(shè),若f(x)存在,則常數(shù)b的值是(    )

A.0           B.1           C.-1        D.e

分析 本題考查f(x)=a的充要條件：

f(x)=f(x)=a.

解 ∵(2x+b)=b,e^x=1,

又條件f(x)存在,∴b=1.

答案 B

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=??

(α≠kπ,n∈N*),驗證n=1等式成立時,左邊計算所得的項是(    )

A.                     　　B.+cosα

C.+cosα+cos3α           　　D.+cosα+cos3α+cos5α

分析　分清等式左邊的構(gòu)成情況是解決此題的關(guān)鍵;對于本題也可把n=1代入右邊化簡得出左邊.

解法一　因為等式的左邊是(n+1)項的形式,故n=1時,應(yīng)保留兩項,它們是+cosα.

解法二　當(dāng)n=1時,右邊=sincos=?(sin2α+sinα)= (sinαcosα+sinα)=+cosα.

答案　B

4.數(shù)列1,,,,…,…的前n項和為S_n,則等于(    )

A.0            B.             C.1             D.2

分析 本題考查數(shù)列極限的求法.要求數(shù)列{a_n}的前n項和,應(yīng)首先確定它的通項公式.

解 ∵a_n==

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2(1-+-+…+-)=.

∴S_n=.

答案 D

5.★若,則a的值為（   ）

A.0               B.1               C.-1               D.

分析 本題考查當(dāng)x→x₀時函數(shù)的極限.

解 ∵存在，而把x=2代入分母時，分母為零，

∴分子、分母應(yīng)有（x-2)這一公因式，化簡以后，再求極限.

∴分子x²+ax-2可分解成（x-2)(x+1)，

即x²+ax-2=(x-2)(x+1)=x²-x-2.

∴a=-1.

答案 C

6.等于(   )

A.0            B.-1             C.1              D.不存在

分析 本題考查函數(shù)f(x)的極限.若把x=-1代入函數(shù)解析式,解析式無意義,故應(yīng)化簡函數(shù)解析式,約去使它的分母為0的因式,再求解.

解 =

==

=

答案 B

7.★已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的數(shù)列,a₁=3,且滿足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n>1且為整數(shù),c>2,則等于(    )

A.-1          B.1        C.        D.

分析 本題考查數(shù)列的極限及運算能力.

解 ∵a_n>0,lga_n=lga_n-1+lgc,

∴a_n=a_n-1?c,=c,

即數(shù)列{a_n}是首項為a₁=3,公比為c的等比數(shù)列,a_n=3?c^n-1(c>2),

答案 A

8.★欲用數(shù)學(xué)歸納法證明對于足夠大的自然數(shù)n,總有2_n>n³,n₀為驗證的第一個值,則(    )

A.n₀=1

B.n₀為大于1小于10的某個整數(shù)

C.n₀≥10

D.n₀=2

解析 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步初始值n₀的確定.不能認(rèn)為初始值都從n₀=1開始,需根據(jù)實際題目而定.當(dāng)1≤n＜10時,2ⁿ與n³的大小不確定,而當(dāng)n≥10時,總有2ⁿ>n³.

答案 C

9.★用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“n³+(n+1)³+(n+2)³(n∈N)能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證n=k+1時的情況,只需展開(　　　)

A.(k+3)³　　　　　　　　　B.(k+2)³

C.(k+1)³D.(k+1)³+(k+2)³

分析　本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題.只需把n=k+1時的情況拼湊成一部分為假設(shè)的形式,另一部分為除數(shù)的倍數(shù)形式即可.

解　當(dāng)n=k+1時,被除數(shù)為(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=k³+(k+1)³+(k+2)³+9(k²+3k+3).故只需展開(k+3)³即可.

答案　A

10. 則a的取值范圍是(    )

A.a=1                         B.a＜-1或a＞

C.-1＜a＜                    D.a＜-或a＞1

分析 本題考查極限qⁿ=0,|q|＜1.要求a的范圍,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

解法一 ∵()ⁿ=0,∴||＜1

∴a＜-1或a＞.

解法二 本題可利用特殊值代入法,當(dāng)a=1時成立,排除C、D.再令a=,∵()ⁿ=0成立,∴排除A.

答案 B

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明,假設(shè)n=k時,不等式成立,則當(dāng)n=k+1時,應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是              .

解析 因為自變量取n時,不等式的左邊為n項和的形式,所以當(dāng)n=k+1時應(yīng)為k+1項的和,它們是,右邊只需把n=k+1代入即可,它們是,故應(yīng)推證的不等式是

答案

12.()=                   .

分析 本題考查數(shù)列極限的運算.此題屬于“∞-∞”型,應(yīng)先分子有理化,再求極限.

解 (n-n+1)==

答案 0

13.★設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),則實數(shù)a的值為           .

分析 本題考查函數(shù)的極限及函數(shù)f(x)在點x₀處連續(xù)的定義.

解 ∵函數(shù)f(x)在點x₀處連續(xù),

又∵f(0)=a,∴a=.

答案

14.已知,則a的值為           .

分析　本題考查f(x)的極限.因為把x=x₀代入分式的分子,分子不為0.又因為f(x)存在,所以把x=x₀代入分母,分母必不為0.故采用直接代入法即可求極限.

解 ∵

答案

15.(本小題滿分8分)平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,求證:n個圓把平面分成f(n)=n²-n+2個部分.

分析 本題的關(guān)鍵在于如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件分析當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓與其他k個圓的交點個數(shù),做到有目的的變形.

證明 (1)當(dāng)n=1時,一個圓把平面分成兩部分,又1²-1+2=2,故命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時,命題成立,即滿足題設(shè)條件的k個圓把平面分成f(k)=k²-k+2個部分.2分

那么當(dāng)n=k+1時,設(shè)第k+1個圓為⊙O,由題意,它與k個圓中每個圓交于兩點,又無三個圓交于同一點,于是它與其他k個圓交于2k個點,這些點把⊙O分成2k條弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.    6分

這就是說,當(dāng)n=k+1時,命題也成立.

綜上可知,對一切n∈N*,命題都成立.    8分

16.(本小題滿分8分)設(shè)f(x)是一次函數(shù)，f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比數(shù)列，求.

分析 本題為函數(shù)、數(shù)列、極限的一道綜合題.解題關(guān)鍵是先利用待定系數(shù)法確定f(x)的解析式，再求f(1)+f(2)+…+f(n),然后利用極限的運算法則求極限.

解 設(shè)f(x)=kx+b,

由條件，得8k+b=15,∴b=15-8k.

∵f (2), f (5), f (4)成等比數(shù)列,

∴(5k+b)²=(2k+b)(4k+b).      2分

把b=15-8k代入，

得(15-3k)²=(15-6k)(15-4k).

解得k=4,k=0(舍）,b=-17.

∴f(x)=4x-17.       4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n

=4?-17n=2n²-15n.    6分

∴

=　　　　　8分

17.(本小題滿分8分)某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時開放健身房和娛樂室.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,則在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時間的推移,去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定?

分析 本題考查用數(shù)列的遞推公式求通項及數(shù)列的極限.

解 設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為a_n,去娛樂室的人數(shù)為b_n,則a_n+b_n=150,              2分

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

即a_n=a_n-1+30.                  4分

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)?()^n-1,即a_n=100+()^n-1?(a₁-100).  6分

∴a_n=100.故隨著時間的推移,去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.              8分

18.(本小題滿分10分)已知數(shù)列{a_n}、{b_n},其中a_n=1+3+5+…+(2n+1),bn=2ⁿ+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數(shù)n,使得a_n≤b_n成立？

分析 對n賦值后,比較幾對a_n與b_n的大小,可作出合理猜測,再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.

解 a_n=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²,

當(dāng)n=5時,a₅=36,b₅=2⁵+4=36,此時a₅=b₅;

當(dāng)n=6時, a₆=49,b₆=2⁶+4=68,此時a₆<b₆;

當(dāng)n=7時,a₇=64,b₇=2⁷+4=132,此時a₇<b₇;

當(dāng)n=8時,a₈=81,b₈=2⁸+4=260,此時a₈<b₈.

猜想:當(dāng)n≥6時,有a_n<b_n.         3分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想.

①當(dāng)n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式a_n<b_n成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥6)時,不等式成立,即a_k<b_k,也即(k+1)²<2k+4;當(dāng)n=k+1時，b_k+1=2^k+1+4=2(2^k+4)-4>2(k+1)²-4=2k²+4k-2,

而(2k²+4k-2)-(k+2)²=k²-6>0(∵k≥6,∴k²＞6),

即2k²+4k-2>(k+2)²=［(k+1)+1］².

由不等式的傳遞性,知b_k+1>［(k+1)+1］²=a_k+1.

∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.    8分

由①②可知,對一切n∈N,且n≥6,都有a_n<b_n.

綜上所述,可知只有當(dāng)n=5時,a_n=b_n;當(dāng)n≥6時,a_n＜b_n.因此存在使a_n≤b_n成立的自然數(shù)n.

10分

19.★(本小題滿分10分)已知數(shù)列{a_n}、{b_n}都是無窮等差數(shù)列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂與a₃的等差中項,且.求極限的值.

分析 首先需求出a_n、b_n的表達式,以確定所求極限的表達式,為此,關(guān)鍵在于求出兩個數(shù)列的公差,“b₂是a₂與a₃的等差中項”已給出一個等量關(guān)系,“a_n與b_n之比的極限為”又給出了另一個等量關(guān)系,故可考慮先設(shè)出公差用二元方程組求解.

解 設(shè){a_n}、{b_n}的公差分別為d₁、d₂,

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d1),

∴2d₂-3d₁=2.①    2分

又

即d₂=2d₁,②       4分

聯(lián)立①②解得d₁=2,d₂=4.

∴a_n=a₁+(n-1)d₁=3+(n-1)?2=2n+1,

b_n=b₁+(n-1)d₂=2+(n-1)?4=4n-2.     6分

10分