2006年黑龍江省高考第二次摸擬考試
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
考試公式：
如果事件A、B互斥，那么，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么，P（A?B）＝P（A）?P（B）
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
球的表面積公式：S＝4πR2，其中R表示球的半徑
球的體積公式：V=
πR3，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷
注意事項：
1.答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上.
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.
3.本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
一、選擇題
1.復數
所對應的點位于復平面的
2．在邊長為1的正三角形ABC中，
的值為
A．
B．－ C．或－ D．不確定
3．若x∈(－
,),則方程sinx=tanx的實根的個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函數f(x)=lg
,若f(a)＝b，則f(-a)＝
A．b B．-b C．
D．-
5．(x2－
)3的展開式中的常數項為
A．6 B．－6 C．12 D．－12
6．已知集合A＝{1，－2，3}，B＝{－4，5，6，－7}。分別從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則平面直角坐標系中，位于第一、第二象限內不同點的個數為
A．18 B．16 C．10 D．14
7．在等差數列中{an}中，a1+a2+a3=1，a28+a29+a30=165，則此數列前30項的和為
A.．810 B．830 C．850 D．870
8．如果不等式f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),f(1)=0則
A．f(x-1)一定是奇函數 B．f(x-1)一定是偶函數
D．f(x+1)一定是奇函數 D．f(x+1)一定是偶函數
9．如果不等式｜x－a｜<1成立的充分不必要條件是<x<
，則實數a的取值范圍是
A．<a< B．≤a≤
C．a<或a> D．a≤或a≥
10．已知向量a、b均為非零向量，現把向量a，b，
A．恰好有兩個點重合 B．恰好三個點重合
C．三點共線 D．以上都不對
11．在2006年前，我國實行的《中華人民共和國個人所和稅法》規定起征點為800元，即公民全民工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應綱稅所得額。此項稅額按下表分段累計進行計算。
全月應納納稅所得額
稅率
不超過500元的部分
5％
超過500元至2000元的部分
10％
超過2000元至5000元的部分
15％
… …… …… …
… …
為了適應時代要求，我國2006年1月份起，開始實行新的《中華人民共和國個所得稅法》起征點由800元提到1 600元，其它均不變
A．87.5元 B．80元 C．75元 D．75.5元
12．定義域和值域均為[－a，a]（常數a>0）的函數y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖所示：
給出下列四個命題：
①方程f[g(x)]=0有且僅有三個解；
②方程g[f(x)]=0有且僅有三個解；
③方程f[f(x)]=0有且僅有九個解；
④方程g[g(x)]=0有且僅有一個解。
那么，其中正確命題是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
第Ⅱ卷
注意事項：
1.用鋼筆或圓珠筆答在答題卡上。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
3.本卷共10小題，共90分。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請將答案填在答題卡上。
13．過拋物線y2=4x的頂點的內接正三角形的邊長等于_________.
14．2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，其會徽如圖所示，它是由4個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形。若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是
，則sin2θ-cos2θ的值等于________.
15．定義一個運算：“Θ”，對任意正整數n,滿足以下運算性質：
i)1Θ1＝1；
ii)(n+1)Θ1=3×(nΘ1)。則2006Θ1值為________.
16．已知圓C：（x-2）2+y2=42,過點M（－1，2）作直線L，使L與圓的交點都在第二象限內，則直線L的斜率的取值范圍是________.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
關于x的方程x2-4xsinθ+a?tanθ=0，（
<θ<）有兩個相等實根，
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當a＝
時，求cos(θ+)的值。
18．（本小題滿分12分）
在直三棱柱ABC―A1B
（1）求CE與AC1的夾角；
（2）求證：CD⊥平面A1ABB1；
（3）求二面角C―A1E―D的大小。
19．（本小題滿分12分）
對于滿足0≤P≤4的一切實數，不等式x2+Px>4x+P-3恒成立，求x的取值范圍。
20．（本小題滿分12分）
甲乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題。規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對兩道才算合格。
(1)求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；
(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。
21．(本小題滿分12分)
橢圓
的內接△ABC是以B(0，1)為直角頂點的等腰直角三角形，設直線AB的斜率為k.
(1)已知k=3,求橢圓的主程；
(2)若k≠1求實數a的取值范圍。
22.(本小題滿分14分)
已知函數f(x)=2n
(n∈N*),在x∈[0，+∞]上的最小值是an.
(1)求an；
(2)若Tn=cos
試比較Tn與Tn+1的大小；
(3)問點列An(2n，an)中，是否存在三點，使以這三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出所有三角形頂點坐標；若不存在，請說明理由。
2006普通高等學校招生黑龍江省統一模擬考試(二)
一、選擇題：1~12(5×12=60)
題號
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
答案
B
B
A
B
C
D
B
C
B
C
C
D
二、填空題：13、B
；14、-
；15、32005；16、(2-2，2)。
三、解答題：
17.解：(1)根據已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0
即：a=
2sin2θ 2分
又由已知：
得
4分
所以有0<sin2θ<1
所以a∈(0，2) 6分
(2)當a=
時由(1)得2sin2θ= 8分
所以sinθ=
，而sin2θ=-cos(
+2θ)
=-2cos2(
)+1= 10分
所以cos2()=
,又
所以cos()=-
12分
18.(九A解法)解：(1)取AC、CC1中點分別為M、N，連接MN、NB1、MB1，
∵AC1∥MN，NB1∥CE
∴∠MNB1是CE與AC1成角的補角 2分
Rt△NB
Rt△MNC中，MN=6
Rt△MBB1中，MB1=
∴cos∠MNB1=-
∴CE與AC1的夾角為arccos 4分
(2)過D作DP∥AC交BC于P，則A1D在面BCC1B1上的射影為C1P，而CE⊥A1D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C1P，又BCC1B為正方形
∴P為BC中點，D為AB中點， 6分
∴CD⊥AB，CD⊥AA1
∴CD⊥面ABB
(3)由(2)CD⊥面A1DE
∴過D作DF⊥A1E于F，連接CF
由三垂線定理可知CF⊥A1E
∴∠CFD為二面角C-A1E-D的平面角 10分
又∵A1D=
∴A1D2+DE2=A1E2=324
∴∠A1DE=90°
∴DF=6，又CD=6
∴tan∠CFD=1
∴∠CFD=45°
∴二面角C-A1E-D的大小為45° 12分
(此題也可通過建立空間直角坐標系，運用向量的方法求解)
19.解：由已知得：
不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立
即：p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立
令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3
則有函數f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。 4分
(1)顯然當x=1時不恒成立
(2)當x≠1時，有
即x>3或x<-1 10分
所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求 12分
20.解：(1)ξ=0、1、2、3
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)= 
∴Eξ=1×
6分
(2)設甲考試合格為事件A，乙考試合格為事件B，A、B為相互獨立事件
P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=
P(B)=
甲、乙兩人均不合格為事件
p()=[1-P(A)][1-P(B)]=
∴甲、乙兩人至少有一人合各的概率為
12分
21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，則
得(1+
∴x A =-
,同理BC方程是y=-
可得xc=
2分
∴|AB|=|xA-0|?
|BC|=|xc-0|?
4分
∵|AB|=|BC|
∴
=解得a2=
∴橢圓方程為
6分
(2)設AB：y=kx+1(不妨設k>0且k≠1)代入
整理得(1+a2k2)x2+a2kx=0
∴xA=-
,同理xc=
8分
∴|AB|=
，
|BC|=
又|AB|=|BC|
∴
整理得
(k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0 (k≠1)
∴k2+(1-a2)k+1=0 10分
∴△=(1-a2)2-4≥0,解得a≥
若△=0，則a=,此時k2+[1-()2]k+1=0
k1=k2=1與k≠1矛盾，故a>. 12分
22.解：(1)由已知有f′(x)=2n
令f′(x)=0
得x=±
2分
∵x∈[0,+∞],∴x=
∵0<x<時f′(x)<0
X>時f′(x)>0
∴當x=時，fmin(x)=an=2n
=
5分
(2)由已知Tn=cos
=
7分
∵
9分
∴π>
又y=cosx在(0,π)上是減函數
∴Tn是遞增的
∴Tn<Tn+1(n∈N*) 10分
(3)不存在
由已知點列An(2n,),顯然滿足y2=x2-1,(x=2n) 12分
即An上的點在雙曲線x2-y2=1上，且在第一象限內
∴任意三點An、Am、Ap連線的斜率KAnAm，KAnAp，KAmAp均為正值。
∴任意兩個量的乘積不可能等于-1
∴三角形AnAmAp三個內角均無直角
∴不可能組成直角三角形。 14分
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