唐山市2005―2006學年度高三年級高二次模擬考試
理 科 數 學
本試卷分第Ⅰ卷(1-2頁，選擇題)和第Ⅱ卷(3-8頁，非選擇題)兩部分，共150分。考試用時120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題，共60分)
注意事項：
1.答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、試題科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。
3.考試結束，監考人將本試卷和答題卡一并收回。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B互獨立，那么P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率：Pn(k)=C
Pk?(1-P)n-k
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給了販四個選項中，有且只有一項符合題目要 .
1.函數y=-
的反函數是
A.y=ln(x2-1)(x2≤-
) B.y=-ln(x2-1)(x≤-)
C.y=ln(x2-1)(x≤1) D.y=-ln(x2-1)(x≤-1)
2.已知復數
(m∈R)在復平面內對應的點位于直線x+y=0上，則m的值為
A.-
B.
C.-2 D.2
3.已知各項都為正數的等比數列{an}的公比不為1，則an+an+3與an+1+an+2的大小關系是
A.不確定的，與公比有關 B.an+an+3<an+1+an+2
C.an+an+3=an+1+an+2 D.an+an+3>an+1+an+2
4.長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，
則點C的軌跡是
A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線
5.正六棱柱ABCDEF-A1B
B.arccos
C.arccos
D.arccos
6.設AB是拋物線x2=4y上兩點，O為原點，若|OA|=|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB=
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.已知平面α，β和直線l，m，使α∥β的一個充分條件是
A.l∥m，l∥α，m∥β B. l⊥m，l∥α，m∥β
C. l∥m，l⊥α，m⊥β D. l⊥m，l∥α，m⊥β
8.
的值為
A.-
B. C. D.-
9.在△ABC中，C=45°，則(1-tanA)(1-tanB)=
A.1 B.
10.設集合M={x|x=
A.{x|x=6k+1,k∈Z} B. {x|x=6k-1,k∈Z}
C. {x|x=2k+3,k∈Z} D. {x|x=3k-1,k∈Z}
11.如圖，在3×4的方格(每個方格都是正方形)中，共有正方形
A.12個 B.14個
C.18個 D.20個
12.O為△ABC的內切圓圓心，AB=5，BC=4，CA=3，下列結論正確的是
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共10小題，共90分)
注意事項：
1.用鋼笑或圓珠筆直接答在試題卷上.
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。
13.(x+2x-1)6的展開式的中間項是_______。
14.正四棱柱的底面邊長為1，高為2，則它的外接球的表面積等于__________.
15.設z=x+2y，變量x，y滿足條件
，則z的最大值為_________.
16.下列命題：①f(x)=sin3x-sinx是奇函數；
②f(x)=sin3x-sinx的最小值為-2；
③若a>0，則ax1+x2≤a2x1+a2x2成立；
④函數f(x)=lg(x2-x+1)的值域為R.
其中正確命題的序號是______(寫出所有正確命題的序號).
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知函數f(x)=1+sin2x,g(x)=
(Ⅰ)求滿足f(x)=g(x)的x值的集合；
(Ⅱ)求函數
的單調遞減區間.
18.(本小題滿分12分)
某廠每日生產一種大型產品2件，每件產品的投入成本為2000元，產品質量為一等品的概率為0.75；二等品的概率為0.2，每件一等品的出廠價為10000元，每件二等品的出廠價為8000元，若產品質量不能達到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生產一件產品還會帶來1000元的損失，求該廠每日生產這咱產品所獲利潤ξ(元)的分布列和期望.
19.(本小題滿分12分)
如圖，菱形ABCD中，∠DAB=60°，AC∩BD=O，，PO⊥平面ABCD，PO=AO=
，點E在PD上，PE：ED=3：1.
(1)證明：PD⊥平面EAC；
(2)求二面角A-PD-C的余弦值；
(3)求點B到平面PDC的距離.
20.(本小題滿分12分)
對于函數f(x)，使x-f(x)=0的x叫做f(x)的不動點，容易求得f(x)=x2的不動點為0和1；f(x)是否有不動點與函數g(x)=x-f(x)的性質密切相關.
(Ⅰ)求f1(x)=
的不動點；
(Ⅱ)設a>0,且a≠1,求使f2(x)=logax有不動點的a的取值范圍.
21.(本小題滿分12分)
過雙曲線x2-y2=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A、B兩點，記雙曲線漸近線的方向向量為v，當
在v方向上的投影的絕對值為
時，求直線l的方程.
22.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)已知多項式fn(x)=(1+x)(1-x)(1+x)…[1+(-1)n-1x](n∈N*)展開式的一次項系數為an，二次項系數為bn.
(1)求數列{an}的通項；
(2)求證：數列{bn}的通項bn= -
；
(Ⅱ)已知多項式gn(x)=(1+x)(1-2x)(1+22x)…[1+(-2)n-1x](n∩N*)展開式的一次項系數為cn，二次項系數為dn，試求列{cn}和數列{bn}的通項.
唐山市2005―2006學年度高三年級第二次模擬考試
一、AADCB DCACB DA
二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③
三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[
sin(x+
]2=[g(x)]2
由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1
∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1……………………………………………3分
∵-
∴x+=0,或x+=,或x+=
x=-或x=0或x=
所求x值的集合為{-,0,} …………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得
2kπ+≤x≤2kπ+
…………………………………………………………9分
∵-≤x≤且x≠-,
∴≤x≤
∴函數
的單調遞減區間為[，]………………………………………12分
18.解：依題意，ξ的可能值為-6000，3000，12000，5000，14000，16000，…2分
P(ξ=-6000)=0.052=0025，
P(ξ=3000)=2×0.2×0.05=0.02，
P(ξ=12000)=0.22=0.4，
P(ξ=5000)=2×0.75×0.05×=0.075，
P(ξ=14000)= 2×0.75×0.2×=0.3，
P(ξ=16000)=0.0752=0.5625…………………………………………………………8分
ξ的分布列為
ξ
-6000
3000
12000
5000
14000
16000
P
0.0025
0.02
0.04
0.075
0.3
0.5625
……………………………………………………………………………………………10分
ξ的期望為
Eξ=-6000×0.0025+3000×0.02+12000×0.04+5000×0.075+14000×0.3+16000×0.5625=14100(元) ………………………………………………………12分
19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內的射影
又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD，即PD⊥AC
在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，
分∴OD=AO?cot60°=1
在Rt△POD中，PD=
，由PE：ED=3：1，得
DE=
又∠PDO=60°，
∴OE2=OD2+DE2-2OD?DEcos60°=
∴OE2+DE2=OD2，∴∠OED=90°,即PD⊥OE
PD⊥平面EAC…………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=
，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，
∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO
=
………………………………………8分
(Ⅲ)由O為BD中點，知點B到平面PDC的距離等于點O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=
∴OH=
所以點B到平面PDC的距離為
……………………………………………12分
 |
解法二：建
立如圖所示的坐標系O-xyz，其中A(0，-
，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).
(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-
)
∵
∴
∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角
∵
∴cos∠AEC=cos<
……………………………………………8分
(Ⅲ)由OBD中點知，點B到平面PDC的距離為點O到平面PDC距離的2倍，又
，cos∠OED=cos<
所以點B到平面PDC的距離為
d=2
………………………………………………12分
20.解：(Ⅰ)x-f1(x)=0,即x-
，解得x1=0,x2=1,x3=-1.
所以，函數f1(x)的不動點為0，1，-1. ………………………………………………4分
(Ⅱ)令g(x)=x-f2(x)=x-logax(x>0)，則g′(x)=1-
…………6分
(1)若0<a<1,則logae<0,g′(x)>0,則g(x)在(0，+∞)內單調遞增.
又g(a)=a-1<0,g(1)=1>0,所以g(x)=0即x-f2(x)=0在(0，1)內有一根. ………………8分
(2)若a>1,則當x∈(0，logae)時，g′<0,g(x)單調遞減，當x∈(logae,+∞)時，g′(x)<0,g(x)單調遞增；當x=logae時，g(x)有最小值logae-loga(logae).
由g(1)=1>0知，當且僅當logae-loga(logae)≤0時，g(x)=0即x-f2(x)=0有實根.
由a>1，知logae-loga(logae)≤0
…………………11分
綜合所述，a的取值范圍是(0，1)∪(1，e
). …………………………………………12分
21.解：由已知，F(
)，雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1,±1),當l斜率k不存在時，不失一般性，取A(，-1)、B(，-1)、B(，1)，則
在v上的投影的絕對值為
，不合題意 ………………………………………………2分
所以l的斜率k存在，其方程為y=k(x-).
由
得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)
設A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),則x1+x2=
………………6分
當v=(1，1)時，設與v的夾角為θ，則=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的絕對值
=
=
由
，得2k2-5k+2=0,k=2或k=
.
根據雙曲線的對稱性知，當v=(1,-1)時，k=-2或k=
.
所以直線l的方程為y=±2(x-)或y=±
.…………………12分
22.解：(Ⅰ)(i)an=1-1+1-…+(-1)n-1=
.………………………………3分
(ii)用數學歸納法證明：
(1)當n=1時，由f1(x)=1+x,知b1=0，而
=0，等式成立. ……4分
(2)假設當n=k時等式成立，即bk= -
,
那么由fk+1(x)=fk(x)[1+(-1)(k+1)-1x]=fk(x)[1+(-1)kx],得
bk+1=bk+(-1)kak=-
=
=-
等式仍然成立. …………………………………………………………………8分
根據(1)和(2)知，對任意n∈N*,都有bn=-
……………………9分
(Ⅱ)cn=1-2+22+…+(-2)n-1=
……………………………11分
由g1(x)=1-x,知d1=0,
當n≥2時，由gn(x)=gn-1(x)[1+(-2)n-1x],知dn=dn-1+(-2)n-1cn-1,
∴dn-dn-1=(-2)n-1cn-1=(-2)n-1?
.
∴dn=d1+(d2-d1)+(d3-d2)+…+(-2)(dn-dn-1)
=0+
=
=
=
當n=1時上式也成立.
∴dn=
……………………………………………………14分
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