2006年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）
數 學
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分..共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號寫在答題卡上.用2B鉛筆將答題卡試卷類型（B）涂黑。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.
3．考試結束，監考人將本試卷和答題卡一并收回.
第一部分 選擇題（共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、函數的定義域是
A. B. C. D.
2、若復數滿足方程，則
A. B. C. D.
3、下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
4、如圖1所示，是的邊上的中點，則向量
A. B.
C. D.
5、給出以下四個命題：
①如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，
②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面
③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行，
④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.
其中真命題的個數是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為
A.5 B.4 C. 3 D. 2
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于
9、在約束條件下，當時，目標函數的最大值的變化范圍是
A. B. C. D.
10、對于任意的兩個實數對和，規定：，
當且僅當；運算“”為：
；運算“”為：，設，若，則
A. B. C. D.
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.
11、________.
12、棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為______.
13、在的展開式中，的系數為________.
三解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15、(本題14分)已知函數.
(I)求的最小正周期；
(II)求的的最大值和最小值；
(III)若，求的值.
16、(本題12分)某運動員射擊一次所得環數的分布如下：
7
8
9
10
0
現進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環數作為他的成績，記為.
(I)求該運動員兩次都命中7環的概率
(II)求的分布列
(III) 求的數學期望.
(I)求二面角的大小；
(II)求直線與所成的角.
18、(本題14分)設函數分別在處取得極小值、極大值.平面上點的坐標分別為、，該平面上動點滿足,點是點關于直線的對稱點.求
(I)求點的坐標；
(II)求動點的軌跡方程.
19、(本題14分)已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為.
(I)求數列的首項和公比；
(II)對給定的，設是首項為，公差為的等差數列，求的前10項之和；
(III)設為數列的第項，，求，并求正整數，使得存在且不等于零.
（注：無窮等比數列各項的和即當時該無窮等比數列前項和的極限）
20、(本題12分)是定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：①對任意的，都有；②存在常數，使得對任意的，都有.
(I)設 ，證明：
(II)設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；
(III) 設，任取，令，，證明：給定正整數，對任意的正整數，成立不等式
2006年高考廣東卷(B)
第一部分 選擇題（50分）
1、函數的定義域是
A. B. C. D.
1、解：由，故選B.
2、若復數滿足方程，則
A. B. C. D.
2、由，故選D.
3、下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A. B. C. D.
3、B在其定義域內是奇函數但不是減函數;C在其定義域內既是奇函數又是增函數;D在其定義域內不是奇函數,是減函數;故選A.
4、如圖1所示，D是△ABC的邊AB上的中點，則向量
A. B.
C. D.
4、，故選A.
5、給出以下四個命題
①如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的一個平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行;
②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面;
③如果兩條直線都平行于一個平面,那么這兩條直線互相平行;
④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么些兩個平面互相垂直.
其中真命題的個數是
A.4 B.3 C.2 D.1
5、①②④正確，故選B.
6、已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是
A.5 B.4 C. 3 D.2
6、，故選C.
7、函數的反函數的圖象與y軸交于點(如圖2所示)，則方程的根是
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
7、的根是2，故選C
8、已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于
A. B. C. 2 D.4
8、依題意可知 ，，故選C.
9、在約束條件下，當時，
目標函數的最大值的變化范圍是
A. B. C. D.
9、由交點為，
（1） 當時可行域是四邊形OABC，此時，
（2） 當時可行域是△OA此時，
故選D.
10、對于任意的兩個實數對（a,b）和(c,d),規定（a,b）＝(c,d)當且僅當a＝c,b＝d;運算“”為：，運算“”為：，設，若
則
A. B. C. D.
10、由得,
所以,故選B.
第二部分 非選擇題（100分）
二、填空題
11、
11、
12、若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為
12、
13、在的展開式中，的系數為
13、
所以的系數為
14、在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球；第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數，則 ； （答案用n表示） .
14、10，
三、解答題
15、（本小題滿分14分）
已知函數
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的最大值和最小值；
（Ⅲ）若，求的值.
15解：
（Ⅰ）的最小正周期為;
（Ⅱ）的最大值為和最小值；
（Ⅲ）因為，即,即
16、（本小題滿分12分）
某運動員射擊一次所得環數X的分布列如下：
X
0-6
7
8
9
10
Y
0
0.2
0.3
0.3
0.2
現進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環數作為他的成績，記為.
(Ⅰ)求該運動員兩次都命中7環的概率；
(Ⅱ)求分布列；
(Ⅲ) 求的數學希望.
16解：(Ⅰ)求該運動員兩次都命中7環的概率為；
(Ⅱ) 的可能取值為7、8、9、10
分布列為
7
8
9
10
P
0.04
0.21
0.39
0.36
(Ⅲ) 的數學希望為.
17、（本小題滿分14分）
如圖5所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大小；
(Ⅱ)求直線BD與EF所成的角.
17、解：(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B―AD―F的平面角，
依題意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B―AD―F的大小為450；
(Ⅱ)以O為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
設異面直線BD與EF所成角為，則
直線BD與EF所成的角為
18、（本小題滿分14分）
設函數分別在、處取得極小值、極大值.平面上點A、B的坐標分別為、,該平面上動點P滿足,點Q是點P關于直線的對稱點.求(Ⅰ)點A、B的坐標 ；
(Ⅱ)動點Q的軌跡方程
18解: (Ⅰ)令解得
當時,, 當時, ,當時,
所以,函數在處取得極小值,在取得極大值,故,
所以, 點A、B的坐標為.
(Ⅱ) 設，，
，所以，又PQ的中點在上，所以
消去得
19、（本小題滿分14分）
已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為.
(Ⅰ)求數列的首項和公比；
(Ⅱ)對給定的,設是首項為，公差為的等差數列.求數列的前10項之和；
(Ⅲ)設為數列的第項，，求，并求正整數，使得
存在且不等于零.
(注：無窮等比數列各項的和即當時該無窮數列前n項和的極限)
19解: (Ⅰ)依題意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以數列的的首項為,公差,
,即數列的前10項之和為155.
(Ⅲ) ===，
，=
當m=2時，=－，當m>2時，=0，所以m=2
20、（本小題滿分12分）
A是由定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數，使得對任意的，都有
（Ⅰ）設，證明：
(Ⅱ)設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;
(Ⅲ)設,任取,令證明:給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式
解：對任意,,,,所以
對任意的，，
，所以0<
,令=，，
所以
反證法:設存在兩個使得,則
由，得，所以，矛盾，故結論成立。
，所以
+…
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