2006年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1.答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
參考公式：
如果時間A、B互斥，那么
如果時間A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式，其中R表示球的半徑
球的體積公式，其中R表示球的半徑
一、選擇題
⑾、用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為
A． B． C． D．
⑿、設集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有
A． B． C． D．
2006年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
第Ⅱ卷
注意事項：
1.答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2頁，請用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效。
3．本卷共10小題，共90分。
⒀、已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_______________。
⒁、設，式中變量滿足下列條件
則z的最大值為_____________。
⒂、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種。（用數字作答）
⒃、設函數。若是奇函數，則__________。
⒄、（本小題滿分12分）
的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。
⒅、（本小題滿分12分）
A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。
（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；
（Ⅱ）觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數，求的分布列和數學期望。
⒆、（本小題滿分12分）
如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，。
（Ⅰ）證明⊥；
（Ⅱ）若，求與平面ABC所成角的余弦值。
⒇、（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：
（Ⅰ）點M的軌跡方程；
（Ⅱ）的最小值。
（21）、（本小題滿分14分）
已知函數。
（Ⅰ）設，討論的單調性；
（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。
（22）、（本小題滿分12分）
設數列的前項的和
，
（Ⅰ）求首項與通項；
（Ⅱ）設，，證明：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
C
B
C
A
D
B
B
B
一、選擇題
1．解：=，=，
∴ ，選B.
2．解：函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，所以是的反函數，即=，∴ ，選D.
3．雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A.
4．復數=(m2－m)+(1+m3)i是實數，∴ 1+m3=0，m=－1，選B.
5．函數的單調增區間滿足，
∴ 單調增區間為，選C.
6．中，a、b、c成等比數列，且，則b=a，
=，選B.
7．正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為2，∴ 球的半徑為，球的表面積是，選C.
8．設拋物線上一點為(m，－m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A.
9．向量、、的和。向量、、順時針旋轉后與、、同向，且，∴ ，選D.
10．是公差為正數的等差數列，若，，則，，∴ d=3，，，選B.
11．用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選B.
12．若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=1種；總計有，選B.
解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，
從5個元素中選出2個元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；
從5個元素中選出3個元素，有=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；
從5個元素中選出4個元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；
從5個元素中選出5個元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；
總計為10+20+15+4=49種方法。選B.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13. 14. 11 15. 2400 16.
13．正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側面與底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。
14．，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中滿足的最大值是點C，代入得最大值等于11.
15．先安排甲、乙兩人在后5天值班，有=20種排法，其余5人再進行排列，有=120種排法，所以共有20×120=2400種安排方法。
16．，
則=，為奇函數，∴ φ=.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin
=－2(sin － )2+
當sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為
18.解: (1)設Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
依題意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,
P(B1)=2× × = , 所求概率為: P=P(B0?A1)+P(B0?A2)+P(B1?A2)
= × + × + × =
(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=
, P(ξ=2)=C32×()2× = , P(ξ=3)=( )3=
ξ
0
1
2
3
P
ξ的分布列為:
數學期望: Eξ=3× = .
19.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內的射影.
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心,連結BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.
解法二: 如圖,建立空間直角坐標系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),
(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂線, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z軸. 故可設C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴?=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
連結MC,作NH⊥MC于H,設H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),
=(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結BH,則=(－1,, ),
∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos∠NBH= = =
20.解: 橢圓方程可寫為: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－
設P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= － ,得切線AB的方程為:
y=－ (x－x0)+y0 . 設A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .
由= +得M的坐標為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:
+ =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ ,
∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且當x2－1= ,即x=>1時,上式取等號.
故||的最小值為3.
21.解(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數得 f '(x)= e－ax.
(?)當a=2時, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數.
(?)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數.
(?)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= .
當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:
x
(－∞, －)
(－,)
(,1)
(1,+∞)
f '(x)
＋
－
＋
＋
f(x)
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄊ
f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－,)為減函數.
(Ⅱ)(?)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.
(?)當a>2時, 取x0= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1
(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1,得
f(x)= e－ax≥ >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.
22.解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
將①和②相減得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而數列{ an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
所以, = － ) = ×( － ) <
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