2008―2009學年第一學期中段學業質量監測
高三理科數學試卷
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再將答案填寫在對應題號的橫線上。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將答題卡一并交回．
參考公式：
錐體的體積公式
，其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件在一次試驗中發生的概率是
，那么在
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.已知全集
集合
,
,則
( )
A.
B.
C.
D. 
2.已知幾何體的三視圖如圖1所示，它的表面積
是（ ）
A.
B. 
C.
D.6
3.已知雙曲線
的中心在原點, 右焦點與拋物線
的焦點重合,則
該雙曲線的離心率等于( )
A. 
B. 
C. 
D. 
4.函數
的圖象如圖2所示.觀察圖象可知
函數的定義域、值域分別是（ ）
A.
,
B.
C.,
D.
5. 設命題
：曲線
在點
處的切線方程是:
命題
：
是任意實數,若
,則
.則( )
A．“或”為真 B．“且”為真
C．假真 D．,均為假命題
6.為了了解高三學生的數學成績，抽取了某班
60名學生，將所得數據整理后，畫出其頻率
分布直方圖（如圖3），已知從左到右各長方形
高的比為2：3：5：6：3：1，則該班學生數
學成績在（80，100）之間的學生人數是（ ）
A. 32人 B. 27人 C. 24人 D. 33人
7.函數
的最小正周期是
,則函數
的一個單調遞增區間是( )
A. 
B. 
C.
D.
8.若偶函數
滿足
且
時,
則方程
的零點個數是( )
A. 2個 B. 4個 C. 3個 D. 多于4個
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．本大題分為必做題和選做題兩部分.
（一）必做題：第9、10、11、12題是必做題，每道試題考生都必須做答．
9．二項式
的展開式中含
項的系數等于－28，則
10.從5名外語系大學生中選派4名同學參加廣州亞運會翻譯、交通、禮儀三項義工活動，要求翻譯有2人參加，交通和禮儀各有1人參加，則不同的選派方法共有 .
11.定義某種運算
,運算原理
,
如圖4所示,則式子:
的
值是 .
12.在區域
內
隨機撒一把黃豆,落在區域
內
的概率是 .
（二）選做題：第13、14、15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題的得分．
13. （坐標系與參數方程選做題）若直線
與圓
（
為參數）相切,則實數m的值是
.
14．（不等式選講選做題）如果關于
的不等式
的解集為R, 則的取值范圍是
.
15.（幾何證明選講選做題）如圖5, AB為⊙O的直徑, AC切⊙O于點A,且
,過C的割線CMN交AB的延長線于點D,CM=MN=ND.AD的長等于 
.
 |
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知：A、B、C是
的內角，
分別是其對邊長，向量
，
，
.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若
求的長.
17．（本題滿分12分）
數列
是遞增的等比數列，且
.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)若
,求證數列
是等差數列;
(Ⅲ)若
……
,求
的最大值.
18. （本題滿分14分）
某商場準備在國慶節期間舉行促銷活動,根據市場調查,該商場決定從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品進行促銷活動.
(Ⅰ)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率;
(Ⅱ)商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售,即在該商品現價的基礎上將價格提高150元,同時,若顧客購買該商品,則允許有3次抽獎的機會,若中獎,則每次中獎都獲得數額為的獎金.假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是
,請問:商場應將每次中獎獎金數額最高定為多少元,才能使促銷方案對商場有利?
19. （本小題滿分14分）
如圖6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP
AB，AB=BC=
，D是AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將
沿CD折起，使得
平面ABCD,如圖7.
（Ⅰ）求證：AP//平面EFG；
(Ⅱ) 求二面角
的大小;
（Ⅲ）求三棱椎
的體積.
 |
20. （本小題滿分14分）
已知長方形ABCD, AB=2
, BC=1. 以AB的中點
為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系
.
(Ⅰ)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P(0,2)的直線
交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
21.（本小題滿分14分）
已知
(Ⅰ)求函數的單調區間;
(Ⅱ)求函數在 
上的最小值;
(Ⅲ)對一切的
,
恒成立,求實數的取值范圍.
2008―2009學年第一學期中段學業質量監測
一、選擇題：(共8題,每小題5分,滿分40分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
C
A
D
B
B
二、填空題：（每題5分，共30分）
9.
8 10.
60 11. 8
12. 
13.
10或0(答對一個給3分) 14. 
15. 
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
16．（本題滿分12分）
解:(Ⅰ) 
=
……1分
=
……2分
∵
……4分
……6分
∵
……7分
.……8分
(Ⅱ)在
中，
，
，
……9分
由正弦定理知：
……10分
=
.
……12分
17. 本題滿分12分
解:(Ⅰ)由 
知
是方程
的兩根,注意到
得 
.……2分
得
.
等比數列.
的公比為
,
……4分
(Ⅱ)
……5分
……7分
數列
是首項為3,公差為1的等差數列. ……8分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知數列是首項為3,公差為1的等差數列,有
……
=
……
=
……10分
∵
,整理得
,解得
.
……11分
的最大值是7. ……12分
18. 本題滿分14分
解: (Ⅰ)從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有
種選法,.選出的3種商品中沒有日用商品的選法有
種, 所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為
.……4分
(Ⅱ)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量,設為X,其所有可能值為0, 
,2,3.……6分
X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎,所以
……7分
同理可得
……8分
……9分
……10分
于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是
.……12分
要使促銷方案對商場有利,應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額,因此應有
,所以
, …… 13分
故商場應將中獎獎金數額最高定為100元,才能使促銷方案對商場有利. …… 14分
19.本題滿分14分
.解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,∴
//
,同理
//
, 
//
四邊形EFOG是平行四邊形, 
平面EFOG. ……3分
又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點,PA//EO……4分
平面EFOG,PA
平面EFOG, ……5分
PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分
方法二) 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.
∵E,F分別為PC,PD的中點,∴//,同理
//
又
//AB,//
平面EFG//平面PAB, ……4分
又PA平面PAB,
平面EFG. ……6分
方法三)如圖以D為原點,以
為方向向量建立空間直角坐標系
.
則有關點及向量的坐標為:
……2分
設平面EFG的法向量為
取
.……4分
∵
,……5分
又
平面EFG.
AP//平面EFG. ……6分
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形
,又∵
面ABCD
又
平面PCD,向量
是平面PCD的一個法向量, =
……8分
又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分
……10分
結合圖知二面角
的平面角為
……11分
(Ⅲ)
……14分
20. 本題滿分14分
(Ⅰ)由題意可得點A,B,C的坐標分別為
.……1分
設橢圓的標準方程是
.……2分
則
……4分
.……5分
橢圓的標準方程是
……6分
(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設直線
的方程為
.……7分
設M,N兩點的坐標分別為
聯立方程:
消去
整理得,
有
……9分
若以MN為直徑的圓恰好過原點,則
,所以
,……10分
所以,
,
即
所以,
即
……11分 得
……12分
所以直線的方程為
,或
.……13分
所以存在過P(0,2)的直線:
使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點. ……14分
21: 本題滿分14分
(Ⅰ)
……2分
……4分
(Ⅱ)
(?)0<t<t+2<
，t無解；……5分
(?)0<t<<t+2，即0<t<時，
；……7分
(?)
，即
時，
，
……9分
……10分
(Ⅲ)由題意:
即
可得
……11分
設
,
則
……12分
令
,得
(舍)
當
時,
;當
時, 
當
時,
取得最大值, 
=-2……13分
.
的取值范圍是
.……14分
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