河南省周口市2009年高三年級第一次模擬考試
數學試題（理科）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)、第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。第Ⅰ卷答在答題卡上，第Ⅱ卷答在答卷上，答在試題卷上無效。考試結束后，將本試卷、答題卡、答卷一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試題卷上。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件、相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率
是
，那么
次獨立重復試驗中事件 其中表示球的半徑
恰好發生
次的概率
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．已知向量
，
，則“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．設集合
，選擇
的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有（ ）
A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
3．復數
的實部與虛部互為相反數，則實數
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
4．奇函數
在區間
上單調遞減，
，則不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
5．設各項均為實數的等比數列
的前
項和為
，若
，
，則
（ ）
A．
B．
C．或
D．
或
6．若
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
為半圓的直徑，
為半圓上一點，以
，
為焦點，且過點作橢圓，當點在半圓上移動時，橢圓的離心率有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值
D．最小值
8．設函數
，給
一個定義，使在點
處連續，則的值為（ ）
A． 
B．
C．
D．
9．在正四面體
中，
為
的中點，
為
的中心，則直線
與面
所成角的大小為（ ）
A． 
B．
C．
D．
10．已知函數
，
的圖像與
的圖像關于直線
對稱。若
，則
的值為（ ）
A． B．
C．
D．
11．已知
是函數
的導數，要得到
的圖像，只需將
的圖像（ ）
A．向左平移
個單位 B．向右平移
個單位
C．向左平移
個單位 D．向左平移
個單位
12．已知坐標原點為
，、為拋物線
上異于的兩點，且
，則
的最小值為（ ）
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案直接填在題中橫線上。
13．二項式
的展開式中常數項為
。
14．若實數
，
滿足條件
，那么
的最大值為
。
15．同室、、
、
四位同學準備從三門選修課中各選一門，若要求每門選修課至少有一人選修，且，不選修同一門課，則不同的選法有
種(用數字表示)。
16．已知的三個頂點在以為球心的球面上，且
，
，
，若球的表面積為
，則，兩點的球面距離是
。
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．(本小題滿分10分)
已知函數
是R上的偶函數，其圖像關于點
對稱，且在區間
上是單調函數，求
和
的值。
18．(本小題滿分12分)
甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試。公司規定面試合格者可簽約。甲、乙面試合格就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：
(Ⅰ)至少有三人面試合格的概率；
(Ⅱ)恰有兩人簽約的概率；
(Ⅲ)簽約人數的數學期望。
19．(本小題滿分12分)
如圖所示，四棱錐
中，
底面
，
，底面為直角梯形，
，
，
，點在棱
上，且
。
(Ⅰ)求異面直線與
所成的角；
(Ⅱ)求證：
平面
；
(Ⅲ)求三面角
的平面角的余弦值。
20．(本小題滿分12分)
已知函數
。
(Ⅰ)函數在區間
上是增函數還是減函數？證明你的結論；
(Ⅱ)若當
時，
恒成立，求正整數
的最大值。
21．(本小題滿分12分)
若橢圓
的左、右焦點分別為
、
，線段
被拋物線
的焦點分成
的兩段，過點
且以向量
為方向向量的直線
交橢圓于不同兩點、，滿足
。
(Ⅰ)求橢圓的離心率；
(Ⅱ)當三角形
的面積最大時，求橢圓的方程。
22．已知各項都不為零的數列的前項和是，且
，
，令
，數列
的前項和是
。
(Ⅰ)求的通項公式
；
(Ⅱ)求證：
。
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