2009年高三年級第一次模擬考試
數學試題（文科）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)、第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。第Ⅰ卷答在答題卡上，第Ⅱ卷答在答卷上，答在試題卷上無效。考試結束后，將本試卷、答題卡、答卷一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試題卷上。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件、相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率
是
，那么
次獨立重復試驗中事件 其中表示球的半徑
恰好發生
次的概率
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．已知向量
，
，則“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．設集合
，選擇
的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有（ ）
A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
3．設
，則
的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知
為半圓的直徑，
為半圓上一點，以
，
為焦點，且過點作橢圓，當點在半圓上移動時，橢圓的離心率有（ ）
A．最小值
B．最大值 C．最小值
D．最大值
5．已知
，
，
，
，
成等比數列，則的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函數
同時具備下列二個性質：①最小正周期為
；②圖像關于
對稱，則可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．設
是方程
的解，則屬于區間（ ）
A．
B．
C．
D．
8．設有直線
，
和平面
，
，給出下列四個命題：
①若
，
，
，則
②若，異面，
，
，
，
，則
③若
，，則
④若，，且
，則
其中正確的命題有：（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
9．同室、、
、
四位同學準備從三門選修課中各選一門，若要求每門選修課至少有一人選修，且，不選修同一門課，則不同的選法有（ ）
A．36 B．72 C．30 D．66
10．對于任意實數
，有
，
，且
時，
，
，則
時（ ）
A．，
B．，
C．
，
D．，
11．直線
與圓
，相交于
、
。若
，則
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如圖，以
的三條中位線
，
，
為折痕，將
，
，
折起，使、、三點重合并記為，構
成三棱錐
，則不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．銳角三角形 D．直角三角形
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案直接填在題中橫線上。
13．已知
，
，則
等于
。
14．記
的展開式第項的系數為
，若
，則
。
15．若不等式組
表示的區域為四邊形，且此四邊形內接于圓，則該圓的面積為 。
16．已知的三個頂點在球面上，且
，
，
，又球心
到平面
的距離為
，則該球的表面積等于
。
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17．(本小題滿分10分)
已知函數
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)若
時，
，求
的值。
18．(本小題滿分12分)
甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試。公司規定面試合格者可簽約。甲、乙面試合格就簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合格的概率都是
，且面試是否合格互不影響。求：
(Ⅰ)至少有三人面試合格的概率；
(Ⅱ)恰有兩人簽約的概率。
19．(本小題滿分12分)
如圖所示，四棱錐
中，
底面
，
，底面為直角梯形，
，
，
，點
在棱
上，且
。
(Ⅰ)求異面直線與
所成的角；
(Ⅱ)求證：
平面
；
(Ⅲ)求三面角
的平面角的余弦值。
20．(本小題滿分12分)
已知數列
是等差數列，
，
。
(Ⅰ)求數列的通項
；
(Ⅱ)設數列
的通項
，記
是數列的前項和，若
時，有
恒成立，求的最大值。
21．(本小題滿分12分)
已知函數
是R上的奇函數，且
，
。
(Ⅰ)求，，
的值；
(Ⅱ)在
的圖像上任取一點，在點處的切線
與圖像的另一個交點為
，設點的橫坐標為
，線段
中點R的縱坐標為
。
①用表示；
②當
時，求的最大值。
22．(本小題滿分12分)
若橢圓
的左、右焦點分別為
、
，線段
被拋物線
的焦點分成
的兩段，過點
且以向量
為方向向量的直線交橢圓于不同兩點、，滿足
。
(Ⅰ)求橢圓的離心率；
(Ⅱ)當三角形
的面積最大時，求橢圓的方程。
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