2008年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學（必修+選修Ⅰ）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至9頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目．
2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么
次獨立重復試驗中恰好發生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題
1．函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
2．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是（ ）
3．在中，，．若點滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．設，且為正實數，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．已知等差數列滿足，，則它的前10項的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．若函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
7．設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A．2 B． C． D．
8．為得到函數的圖像，只需將函數的圖像（ ）
A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位
C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位
9．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
10．若直線通過點，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（ ）
2008年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學（必修選修Ⅰ）
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，然后貼好條形碼．請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7頁，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效．
3．本卷共10小題，共90分．
（注意：在試題卷上作答無效）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．若滿足約束條件則的最大值為 ．
14．已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為 ．
15．在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 ．
16．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于 ．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設的內角所對的邊長分別為，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
18．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）設與平面所成的角為，求二面角的大小．
19．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
已知函數，．
（Ⅰ）討論函數的單調區間；
（Ⅱ）設函數在區間內是減函數，求的取值范圍．
20．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗方法：
方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．
（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化驗次數，求的期望．
21．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．
22．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設函數．數列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數在區間是增函數；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設，整數．證明：．
2008年普通高等學校招生全國統一考試
1. C. 由
2. A． 根據汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結合函數圖像可知；
3. A. 由，，；
4. D. ；
5. C. 由；
6. B. 由；
7.D. 由；
8.A. 只需將函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像.
9.D．由奇函數可知，而，則，當時，；當時，，又在上為增函數，則奇函數在上為增函數，.
10.D．由題意知直線與圓有交點，則.
另解：設向量，由題意知
由可得
11.C．由題意知三棱錐為正四面體，設棱長為，則，棱柱的高（即點到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.
另解：設為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為
長度均為，平面的法向量為,
則與底面所成角的正弦值為.
12.B.分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；種四種花有種種法.共有.
13.答案：9．如圖，作出可行域，
作出直線，將平移至過點處
時，函數有最大值9.
14. 答案：2.由拋物線的焦點坐標為
為坐標原點得，，則
與坐標軸的交點為，則以這三點圍成的三角形的面積為
15.答案：.設，則
16.答案：.設，作
，則，為二面角的平面角
，結合等邊三角形
與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則
,
故所成角的余弦值
則點,
,
則,
故所成角的余弦值.
17.解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及
可得
即，則；
（Ⅱ）由得
當且僅當時，等號成立，
18．解：（1）取中點，連接交于點，
，，
．
，
，，即，
面，．
（2）在面內過點作的垂線，垂足為．
，，面，，
則即為所求二面角的平面角．
，，，
，則，
，即二面角的大小．
19. 解：（1）求導：
當時，，，在上遞增
當，求得兩根為
即在遞增，遞減，
遞增
（2），且解得：
20．解：（Ⅰ）解：設、分別表示依方案甲需化驗1次、2次。
、表示依方案乙需化驗2次、3次；
表示依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數。
依題意知與獨立，且
∴
（Ⅱ）的可能取值為2，3。
；
∴
∴（次）
21. 解：（Ⅰ）設，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,則離心率．
（Ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯立
將，代入，化簡有
將數值代入，有,解得
故所求的雙曲線方程為。
22. 解析：
（Ⅰ）證明：，
故函數在區間(0,1)上是增函數；
（Ⅱ）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，
由函數在區間是增函數，且函數在處連續，則在區間是增函數，，即成立；
（?）假設當時，成立，即
那么當時，由在區間是增函數，得
.而，則，
，也就是說當時，也成立；
根據（?）、（?）可得對任意的正整數，恒成立.
（Ⅲ）證明：由．可得
1， 若存在某滿足，則由⑵知：
2， 若對任意都有，則
，即成立.
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