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1、設集合，則 (  )

Ａ.　　　　　    Ｂ.　　    　 Ｃ.　　　　　   Ｄ.

2、已知復數，則（   ）

A. 2                   B. －2                C.                  D.  

3、若等差數列滿足，，則的值是（    ）

A．20                 B．36                     C．24                 D．72

4、已知是的高的交點， 則有（ 　）．

A．         B．   

C．         D．

5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的問題引起了全社會的關注。某市質量監督局為了保證人民的飲食安全要對超市中奶粉的質量進行專項抽查，已知該地區超市中賣的各種類型的奶粉的分布情況如下：老年人專用奶粉300種，普通奶粉240種，嬰幼兒奶粉360種，現采用分層抽樣的方法抽取150種進行檢驗，則這三種型號的奶粉依次應抽取（  ）

A. 18種，12種，24種                    B. 7種，30種，10種

C. 50種，40種，60種                    D. 8種，21種，18種

6、設正數，則“”是“”的（   ）

A．充分而不必要條件              B．必要而不充分條件

C．充分必要條件                   D．既不充分也不必要條件

7、奇函數在上的解析式為，則不等式的解集為（    ）

A．   B．  C．     D．

8、已知的展開式中的系數與的展開式中的系數的和為（　　）．

A．              　　　B．          　　C．           　D．

9、為得到函數的圖像，可將函數的圖像向左平移個單位長度或向右平移個單位長度（均為正數），則的最小值是（    ）

A．                   B．             C.                 D．

10、拋物線的焦點為，其上的動點在準線上的射影為，若，則的橫坐標是（    ）

Ａ．             Ｂ．                  Ｃ．                  Ｄ．

11、在三棱錐中，，，則下面一定成立的是（   ）

A.                           B.

C.                           D.

12、下表為第29屆奧運會獎牌榜前10名，設表示從“金牌、銀牌、銅牌、總數”4項的獎牌數中任取不同兩個構成的一個排列，按下面的方式對10個國家進行排名：

首先按由大至小排序（表格中從上至下），若值相同，則按值由大至小排序，若值也相同，則順序任意，那么在所有的排序中，中國的排名之和是（    ）

A．15       B．20             C．24              D．27

_{第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）}

13、已知函數的反函數為，若，則a =        .

14、一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為        .

15、將一個長、寬分別是8，7的鐵皮的四角均切去邊長為的正方形，然后折成一個無蓋的長方體的盒子，則當這個長方體的對角線最短時，的值為     .

16、數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點,，若其歐拉線方程為，則頂點C的坐標是      .

17、（本小題滿分10分）

設的內角所對的邊長分別為，且．

（1）求證：；

（2）當時，求；

18、（本小題滿分12分）

第29屆奧運會期間，來自美國和英國的共計6名志愿者被隨機地平均分配到跳水、籃球、體操這三個崗位服務，且跳水崗位至少有一名美國志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中來自美國、英國的各幾人；

（2）求籃球崗位恰好美國人、英國人各一人的概率．

（3）（只理科作）設隨機變量為在體操崗位服務的美國志愿者的個數，求的分布列及期望

19、（本小題滿分12分）

如圖，已知平面，平面，三角形為等邊三角形，

，為的中點

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的大小。

20、（本小題滿分12分）

設函數，

（1）若存在使不等式能成立，求實數的最小值；

（2）若關于的方程在上恰有兩個不等實根，求實數的取值范圍.

21、（本小題滿分12分）

已知橢圓的右準線方程為，右焦點到上頂點的距離為，點是線段上的一個動點.

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,使得,并說明理由.

22、（本小題滿分12分）

在數列中，a₁=2，b₁=4，且成等差數列，成等比數列（）

（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測的通項公式，并證明你的結論；

（2）證明：．

2009屆先知模擬卷數學試題（一）

答案解析及評分標準

1、B  ，，故

_{2. B}

3. C  因，得_，，得，則， ，

則

4．Ｄ   點是的高的交點，則

因此∴

同理可得: ,∴

5、C 根據分層抽樣的知識可知，抽樣比為，則老年人專用奶粉應該抽取30050種，普通奶粉24040種，嬰幼兒奶粉36060種.從而可知答案選C．

6. A  ，平方得， 但反之無法推出，故是充分而不必要條件

_{7、B 根據奇函數圖像關于原點對稱，觀察圖像即可}．

8．Ｂ 所求和為．

9、B 由周期性可知，，，

則，易知當時，

10、A   ，故，由拋物線定義可知，故是等邊三角形，必有，說明F在的垂直平分線上，故，得M的橫坐標是

11、B  易知，， ,由，故，，故

12、D   提示：分類討論：若為金牌，3種排序中，中國均第1；若為銀牌，在銀牌-金牌，銀牌-總數兩種排序中，中國均第2，在銀牌-銅牌的排序中，中國排第2或第3；若為銅牌，在銅牌-金牌，銅牌-總數的排序中，中國均第2，在銅牌-銀牌的排序中，中國排第2或第3；若為總數，則3種排列中國均第2；故在所有的排序中，中國的排名之和為，選D

13．6 ， ∴，∴.

14．pa³  以棱長為a的正四面體的四個頂點為頂點，可以補成棱長為a的正方體

，而一個球與正四面體的六條棱都相切，即這個球與正方體的六個面都相切，因此，球的半徑即為正方體棱長的，即R=a，所以V_球＝p(a)³＝pa³.

15．  設對角線為，則，根據二次函數單調性可知當時有最小值，且，是符合實際情況的

16、  AB中點為（1，2），直線AB的垂直平分線方程為，將其與歐拉線方程聯立，解得外心（，1），設C(a，b)，則重心，有與，聯立得或（舍）．

17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，

可得

即，故； 5分

（2），

故，

得，因，故，于是，

所以當時，  10分

18.(12分)解：（1）記至少一名美國志愿者被分到跳水崗位為事件，則的對立事件為“沒有美國志愿者被分到跳水崗位”，設有美國人個，，那么，解得，即來自美國的2人，來自英國的4人．4分

（2）記籃球崗位恰好美國人、英國人各有一人為事件，那么，

所以籃球崗位恰好美國人、英國人各一人的概率是．理8分文12分

（3）（只理科作）的所有可能值為0，1，2，

　　　 ，，

         故有分布列

0

1

2

P

　　　　　　　從而（人）理12分

19．(12分)（1）證明：取的中點，連，

∵為的中點 

∴，而平面，平面，

故，又，

∴四邊形為平行四邊形

∴,又

所以平面    3分

（2）∵為等邊三角形，∴，而

故平面      5分

∵，∴平面

所以平面平面       7分

（3）在平面內作交于，在平面內作交于，連  ∵平面平面  ∴平面，由三垂線定理得

∴為二面角的平面角      9分

設，則，

∴    10分

又，其中  ∴    

∴

所以二面角的大小為（或）      .12分

方法二：

設，則；由已知得

建立如圖所示的坐標系，     

則：

∵為的中點，∴      2分

（1）證明：      3分

∵，A不在平面內，∴平面      4分

（2）∵   5分

∴，∴      6分

∴平面，又平面

∴平面平面      7

（3）設平面的法向量為

由可得：     

設平面的法向量為

由可得：      9分

∴    

∴二面角的大小為      12分

20.(12分) 解：（1）設在的最小值為，依題意有，

    ， 當時，故在為增函數， ，于是，即實數的最小值為1  6分

   （2）依題意得，在上恰有兩個相異實根，

    令，，

    當時，，當時，

    故在上是減函數，在上是增函數，8分

算得，，即，

故應有

    ，故12分

21.(12分)解.：(1)由題意可知，又，解得，

橢圓的方程為；4分

（2）由（1）得，所以.假設存在滿足題意的直線，設的方程為

，代入，得，

設，則   ①

，6分

，

而的方向向量為，

;

于是當時,，也即存在這樣的直線;

當時,不存在，即不存在這樣的直線 .12分

22.解：（1）由條件得，由此可得

．

猜測．

用數學歸納法證明：

①當時，由上可得結論成立．

②假設當時，結論成立，即

，

那么當時，

．

所以當時，結論也成立．

由①②，可知對一切正整數都成立．6分

（2）．

時，由（1）知．

故

綜上，原不等式成立．12分