2005―2006學年度高三年級期末練習
數學試卷（文科）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）
1．sin570°的值為 （ ）
A． B． C． D．
2．若直線垂直，則實數a的值等于 （ ）
A．－1 B．4 C． D．
3．函數的最小正周期為 （ ）
A． B． C． D．
4．已知向量a、b滿足：|a|=2，|b|=1，（a－b）?b=0，那么向量a、b的夾角為 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知兩不重合直線a、b及兩不重合平面α、β，那么下列命題中正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．若橢圓則實數m等于 （ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是P1，乙解決這個問題的概率是P2，則其中至少有一個人解決這個問題的概率是 （ ）
A．P1+P2 B．P1?P2 C．1－P1?P2 D．1－（1－P1）（1－P2）
8．向量的變動范圍（不含邊界的陰影部分）是 （ ）
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上）
9．拋物線的準線方程是y=2，則實數a的值為 。
10．函數的圖象F按向量a平移后，得到圖象F′的解析式為，則向量a的坐標為 。
11．圓上的動點P到直線的距離的最小值等于 。
點，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角
B―AD―C′為60°，則折疊后點A到直線BC′的
距離為 ；二面角A―BC′―D的正切
值為 。
13．等腰直角三角形ABC的三個頂點在同一球面上，
∠BAC=90°，AB=AC=，若球心O到平面ABC
的距離為1，則該球的半徑為 ；球的
表面積為 。
14．對任意實數三者中的最小值，那么的最大值是 。
三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
15．（本小題共13分）
△ABC中，角A、B、C的對邊分別是為，△ABC的面積為
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求a、b的值。
16．（本小題共14分）
如圖，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D棱B1B的中點。
（Ⅰ）證明：A1C1//平面ACD；
（Ⅲ）證明：直線A1D⊥平面ADC。
17．（本小題共13分）
已知圓C：
（Ⅰ）求圓心C的坐標及半徑r的大小；
（Ⅱ）已知不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（Ⅲ）從圓C外一點P（x，y）向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|MP|=|OP|，求點P的軌跡方程。
18．（本小題共14分）
數列
（Ⅰ）求證：數列{bn}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設，求數列{cn}的前n項和Sn。
19．（本小題共13分）
函數其中
（Ⅰ）證明：的極小值；
（Ⅱ）求實數a的取值范圍。
20．（本小題共13分）
已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F（c,0）（c>0），右準線為l：過點F作直線交雙曲線的右支于P，Q兩點，延長PB交右準線l于M點。
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若的面積S；
（Ⅲ）若，問是否存在實數μ，使得：若存在，求出μ的值；若不存在，請說明理由。
一、選擇題
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A
二、填空題
9．－8 10．（－1，－2） 11． 12．（2分）；2（3分）
13．（3分） 14．3.5
三、解答題
15．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
………………4分
在三角形ABC中，C=60° ………………6分
（Ⅱ）∵ …………8分
又∵ ………………9分
∴
∴ ………………11分
∴
∴ ………………13分（少一組值扣1分）
16．[解法一]（Ⅰ）證：在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC//A1C1 ………………2分
又平面ACD ∴A1C1//平面ACD ………………4分
（Ⅱ）在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC ………………6分 又∠BAC=90° ∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 ………………8分
又A1D平面A1ABB1， ∴AC⊥A1D
∴異面直線AC與A1D所成的角大小為 ………………9分
（Ⅲ）∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …………11分 由（Ⅱ）知A1D⊥AC，
∴A1D⊥平面ACD ……………………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（Ⅰ）圓心坐標C（－1，2），半徑。 ………………3分（圓心橫縱坐標及半徑各1分）
（Ⅱ）∵切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零，
設直線方程 ………………4分
∵圓C：
∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，
即： ………………6分
∴a=－1或a=3，
所求切線方程為：
（Ⅲ）∵切線PM與半徑CM垂直，設P(x，y)
∴|PM|2=|PC|2－|CM|2 ………………10分
∴ ………………11分
所以點P的軌跡方程為 ………………13分
18．（Ⅰ）證明：∵
……………………1分
……………………3分
∴數列{bn}是首項為2，公比為2的等比數列。 ………………4分
（Ⅱ）解： ………………5分
由（Ⅰ）得 …………7分
∴ ………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ………………9分
利用錯位相減法可得， ………………14分
19．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分
又
可得 ………………4分
又
即
（0，x1）
x1
(x1,x2)
x2
(x2,2)
+
0
－
0
+
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以為的極大值，為的極小值.……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
…………9分
……12分
……13分
20．解：（Ⅰ）由題意知
則雙曲線方程為：……3分
（Ⅱ）設
設PQ方程為：代入雙曲線方程可得：
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，
……4分
……5分
由于
由……6分
……7分
此時
……8分
（Ⅲ）存在實數，滿足題設條件
……9分
把（3）（4）代入（2）得：……（5）
由（1）（5）得：……11分
，滿足題設條件. ………………13分
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