山西省太原五中2009年四月高三月考 數 學(理)
一．選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個選項中，
1.設
是集合A到集合B的映射,若
則
等于( )
A. 
B.
C.
或 D. 或
2.與復數
的積為1的復數的虛部為
( )
A. 
B.
C.
D.1
3.直線
與平面
滿足
,
,那么必有 (
)
A. 
且
B. 且
C. 且
D. 
且
4.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲乙均不與丙相鄰，不同排法種數有 （ ）
A. 72
B
5.若直線
mx+ny=4和圓O:
沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓
的交點個數為(
)
A.至多一個 B.2個 C.1個 D.0個
6.若函數
的導數是
則函數
(0<a<1)的單調遞減區間是(
)
A. 
B. 
, 
C. 
D. 
,
7. 點
從點
出發，按逆時針方向沿周長為
的圖形運動一周，
兩點連線的距離
與點走過的路程
的函數關系如圖，那么點所走的圖形是（ ）
 |
8.四面體A-BCD的四個頂點都在半徑為2的球上.且AB,AC,AD兩兩垂直,則
的最大值為 ( )
A. 8
B. 
9. 函數
的最大值為
（ ）
A．
B. 
C. 
D . 
10.已知點P是橢圓
上的動點, 
為橢圓的兩個焦點,O是坐標原點,若M是
的角平分線上一點且
，則
的取值范圍為( )
A. 
B.
C
D. 
11．雙曲線
的左、右焦點分別為
，點
在其右支上，且滿足
，
，則
的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12.數列
滿足
且
…
對任何的正整數成立，則
…
的值為 （ ）
A. 5032 B.
二.填空題(本題共4小題，每題5分，共20分)
13．二項式
展開式中所有無理系數之和為
14．已知
，
，
=2 當
的面積最大時，
與
的夾角為
15．已知曲線C: 
與函數
和
(a>0且
)的圖象在第一象限的交點分別為
，
，則
16．實系數一元二次方程
的兩個實根為
，若0<
,則
的取值范圍為
三.解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17．（本小題滿分10分）
已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
且
的夾角為
，
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求
的最小值。
18．（本小題滿分12分）在
兩只口袋中均有
個紅球和個白球，先從
袋中任取個球轉放到
袋中，再從袋中任取一個球轉放到袋中，結果袋中恰有
個紅球．
(1)求
時的概率；(2)求隨機變量
的分布列及期望．www.1010jiajiao.co
19．（本小題滿分12分）
已知三棱錐
中,
在底面
上的射影
為
的重心,且
.
(Ⅰ)求
與底面所成的角的大小；
(Ⅱ)當二面角
的大小最小時,
求三棱錐的體積.
20．（本小題滿分12分）
已知函數
在（1，2
是增函數，
在（0，1）為減函數.
（1）求、
的表達式；
（2）求證：當
時，方程
有唯一解；
（3）當
時，若
在∈（0，1內恒成立，求
的取值范圍.
21．（本小題滿分12分）
在直角坐標平面中，的兩個頂點
的坐標分別為
，
，平面內兩點
同時滿足下列條件：
①
；②
；③
∥
．
（１）求的頂點
的軌跡方程；
（２）過點
的直線與（１）中軌跡交于不同的兩點
，求
面積的最大值.
22．（本小題滿分12分）
已知數列
滿足關系：
，
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）證明：
；
（3）設
是數列
的前n項和，當
時，
是否有確定的大小關系？若有，加以證明；若沒有，請說明理由。
太 原 五 中
2008―2009學年度第二學期月考 (4月)
高三數學(理)答卷紙
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
13 ； 14 .；
二、填空題（每小題5分）
15. ； 16 。
三．解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17.
18.
19.
20.
(21、22題請寫在背面，請標清題號。)
高三數學(理)答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
C
B
C
C
A
D
B
C
B
二、填空題（每小題5分）
13.
； 14.
； 15. 2
； 16.
。
三．解答題（本題共6小題，第17題10分，其余每題12分，共70分）
17.解 （Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角，
……………………5分
（Ⅱ）
……………………8分
有最小值。
的最小值是
……………………10分
18.解：(1)表示經過操作以后袋中只有一個紅球，有兩種情形出現
①先從中取出
紅和白，再從中取一白到中
②先從中取出紅球,再從中取一紅球到中
…………………………………………6分
(2)同(1)中計算方法可知：
 |
的概率分布列
……………………………12分
19.解：(Ⅰ)如圖,連
并延長交
于點
,依題意知,
就是與底面所成的角,且為的中點.∴
,
.
在
中,
,∴
,故與底面所成的角
.…………………5分
(Ⅱ)過點作
于
,連
,則
,∴
為二面角的平面角.
在
中,斜邊上的高為
,∴
.
在
中,
.∴二面角的最小值為
,當且僅當
.∴
.…………12分
20．解（1）
依題意
又∵
，依題意
…………………4分
（2）由（1）可知，原方程為
設
令
令
由
（0，1）
1
（1，+∞）
－
0
+
遞減
0
遞增
即在
處有一個最小值0，即當
時，>0，
只有一個解.
即當x>0時，方程有唯一解.
…………………8分
（3）
當
時為減函數，其最小值為1.
令
恒成立.
∴函數
在為增函數，其最大值為2b－1，
依題意
，解得
為所求范圍. …………………12分
21．解：（１）設
，
點在線段
的中垂線上．由已知
． …………1分
又
∥，
．又，
，
． ………………………………3分
，
，
，
頂點的軌跡方程為
． ……………… …5分
（２）設直線方程為：
，
，
，
由
消去得：
①
， 
．
由方程①知
＞
，
＜
，
，
＜
＜． …………………………………8分
而
．………………………10分
令
，則
，
．記
，
求導易得當
時有面積的最大值
． ……………………12分
22．解：（1）
故是等比數列。 ……………………4分
（2）
由
及：
……………………8分
（3）當時，
相加得：
故時，
. ……………………12分
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