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試題詳情

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題5分，共30分，把答案寫在橫線上）．

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三、解答題：本大題共6小題，滿分74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

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一、選擇題：

1. 答案：C. ｛x | x≥0｝,故選C.

2.C

3. （理）對于中，當n＝６時，有所以第２５項是７．選C.

4.D

5.Ａ．　∵

　　　　　　＝，

∴根據題意作出函數圖象即得．選A．

6. 答案：Ｄ．當x=1時，y＝m ,由圖形易知m<0, 又函數是減函數，所以0<n<1,故選Ｄ．

7.A

8.C

二、填空題：

9.810

10．答案： ．

11. 答案：.

12.

13. （2）、（3）

14.

15．（本題滿分分）

已知，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

解：（Ⅰ）由, ，         ………………………2分                                   

 ．                  …………………5分

（Ⅱ） 原式＝             

                              …………………10分

 ．                           …………………12分

16．（本題滿分分）

在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記．

（Ⅰ）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求隨機變量的分布列和數學期望．

解：（Ⅰ）、可能的取值為、、，

  ，，

，且當或時，．          ……………3分

因此，隨機變量的最大值為．

有放回抽兩張卡片的所有情況有種，

．                             

答：隨機變量的最大值為，事件“取得最大值”的概率為．   ………5分

（Ⅱ）的所有取值為．

時，只有這一種情況，

 時，有或或或四種情況，

時，有或兩種情況．

，，．              …………11分

則隨機變量的分布列為：

因此，數學期望． ……………………13分

17．（本題滿分分）

如圖，已知正三棱柱―的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．

 （Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；（Ⅱ） 求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

解：（Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為．取中點，連．

是正三角形，．

又底面側面，且交線為．

側面．

連，則直線與側面所成的角為．   ……………2分

在中，，解得．       …………3分

此正三棱柱的側棱長為．                         ……………………4分

 注：也可用向量法求側棱長．

（Ⅱ）解法1：過作于，連，

側面．

為二面角的平面角．           ……………………………6分

在中，，又

，  ．

又

在中，．               …………………………8分

故二面角的大小為．               …………………………9分

解法2：（向量法，見后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交線為，過作于，則平面．                      …………10分

在中，．         …………12分

為中點，點到平面的距離為．       …………13分

解法2：（思路）取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為．過點作于，則的長為點到平面的距離．

解法3：（思路）等體積變換:由可求．

解法4：（向量法，見后）

題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角坐標系．

則．

設為平面的法向量．

由 得．

取                                       …………6分

又平面的一個法向量                          …………7分

．   …………8分

結合圖形可知，二面角的大小為．         …………9分

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

點到平面的距離＝．13分

18． （本小題滿分14分）

一束光線從點出發，經直線上一點反射后，恰好穿過點．

（Ⅰ）求點關于直線的對稱點的坐標；

（Ⅱ）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；

（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．

解：（Ⅰ）設的坐標為，則且．……2分

解得，  因此，點 的坐標為．  …………………4分

（Ⅱ），根據橢圓定義，

得，……………5分

，．

∴所求橢圓方程為．                ………………………………7分

（Ⅲ），橢圓的準線方程為．      …………………………8分

設點的坐標為,表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離．

則，．

，         ……………………………10分

令，則，

當，， ，．

 ∴ 在時取得最小值．               ………………………………13分

因此，最小值＝，此時點的坐標為．…………14分

注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得．

說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心率．

19．（本題滿分分）

已知數列滿足：且，．

（Ⅰ）求，，，的值及數列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和；

解：（Ⅰ）經計算，，，．   

當為奇數時，，即數列的奇數項成等差數列，

；                     

當為偶數，，即數列的偶數項成等比數列，

．                           

因此，數列的通項公式為．  

（Ⅱ），                             

   ……（1）

 …（2）

（1）、（2）兩式相減，

得     

．

   ．                        

20．（本題滿分分）

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．

（Ⅰ）設，試求函數的表達式；

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數，在區間內總存在個實數

，，使得不等式成立，求的最大值．

解：（Ⅰ）設、兩點的橫坐標分別為、，

 ，   切線的方程為：，

又切線過點， 有，

即，   ………………………………………………（1）  …… 2分

同理，由切線也過點，得．…………（2）

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

   ………………（ * ）             ……………………… 4分

           ，

把（ * ）式代入,得,

因此，函數的表達式為．   ……………………5分

（Ⅱ）當點、與共線時，，＝，

即＝，化簡，得，

，．       ………………（3）     …………… 7分

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得點、與三點共線，且 ．       ……………………9分

（Ⅲ）解法：易知在區間上為增函數，

，

則．

依題意，不等式對一切的正整數恒成立，   …………11分

，

即對一切的正整數