惠州市第一中學高三年級數學試卷 （2006 8）
考生須知:
1. 本卷滿分150分, 考試時間120分鐘.
2. 答題前, 在答題卷密封區內填寫班級，姓名和學號.
3. 所有答案必須寫在答題卷上, 寫在試題卷上無效.
4. 考試結束, 只需上交答題卷.
一：選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．函數
的反函數是( )
A
B 
C
D 
2 若 f′(x0)=2, 則
=( )
A.
－2
B.
3．如圖所示是二次函數
的圖像，則
等于( )
A．
B．
C．
D．無法確定
4．函數y=1+ax(0<a<1)的反函數的圖象大致是 ( )
 |
（A） （B） （C） （D）
A B C D
5．函數f(x)=cosx?sinx的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是（ ）
A．
B． C.
D．
6．函數
的定義域為開區間
，導函
數
在內的圖象如圖所示，則函數 在開區間內有極小值點（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
7．如果二次函數y=-2x2+(a-1)x-3,在區間(-∞,
上是增函數，則（ ）
A. a=5 B .a=3 C. a≥5 D. a≤-3
8．在等差數列
中，已知
則
等于 （ ）
A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
9．若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
10．定義集合運算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為 （ ）
A. 0 B. 6 C.12 D.18
二：填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）
11．函數
的定義域是__________.
12．在等比數列中，如果a6=6,a9=9, 則a3=__________.
13. y=sin2（x）－cos2（x）＋1的周期是_______________.
14．關于函數f(x)=lg
(x≠0,x∈R)有下列命題：
①函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱。
②當x>0時，f（x）是增函數；當x<0時，f（x）是減函數。
③函數f（x）的最小值是lg2。
④當-1<x<0或x>1時，f（x）是增函數。
⑤f（x）無最大值，也無最小值。
其中正確的命題的序號是________。（注：把你認為正確的命題的序號都填上）
三 解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（本小題滿分12分）
求下列函數的導數：
y= ex?┮x
16 （本小題滿分12分）
已知函數
，且
，
(1) 求a, b的值;
（2）求的最大值與最小值；
（3）若
，
，且
，求
和值.
17（本小題滿分14分）
已知曲線
和
它們交于點P,過P點的兩條切線與
軸分別交于A，B兩點。
求△ABP的面積。
18 （本小題滿分14分）
在等差數列
中，首項
，數列
滿足
（1）求數列的通項公式；
（2）求
19．（本小題滿分14分）
已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
與x＝1時都取得極值
（1）求a、b的值與函數f（x）的單調區間
（2）若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。
20．（本小題滿分14分）
設a為實數，記函數
的最大值為g(a)。
（1）設t＝
，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t)
（2）求g(a)
（3）試求滿足
的所有實數a。
一. 選擇題 :( 本大題共10小題, 每小題5分, 共50分. ） .
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
A
C
B
A
D
二. 填空題: 本大題有4小題, 每小題5分, 共20分.
11 (-∞,2 〕 12 4
13 1 14 ①③④
三. 解答題
15 （本小題滿分12分） ∞
解: 由 y= ex?┮x
得 y′= (ex)′?┮x+ (ex) ?(┮x)′
= ex ?┮x+ ex
?
= ex(┮x +)
16 （本小題滿分14分）
解：由題意得：
∴
∴
（2）max=1+
min=1-
（3）∵
∴
∴
或
∴
（舍去）或
（K∈Z）
∴
17（本小題滿分14分）
解 ： 由
和y=x2得點p的坐標為(1,1)
又的導數為y′=-
,則在P點的導數為－1
因此在P點的切線方程為 y－1=－1(x－1)
即y=－x+2 .
那么點B的坐標為(2,0), 同理A點的坐標為(
,0 ).
∴三角形的面積為SABP=ㄏABㄏ?h=×
×1=
18（本小題滿分14分）
解：（1）設等差數列的公差為d， 
，
由
，解得d=1.
（2）由（1）得
設
，
則
兩式相減得
19．（本小題滿分14分）
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝
，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函數f（x）的單調區間如下表：
x
（－¥，－）
－
（－，1）
1
（1，＋¥）
f¢（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
極大值
¯
極小值
所以函數f（x）的遞增區間是（－¥，－）和（1，＋¥）
遞減區間是（－，1）
（2）f（x）＝x3－
x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，當x＝－時，f（x）＝
＋c
為極大值，而f（2）＝2＋c，則f（2）＝2＋c為最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
20（本小題滿分14分）
解：（I）∵
，
∴要使
有意義，必須
且
，即
∵
，且
……① ∴的取值范圍是
。
由①得：
，∴
，
。
（II）由題意知
即為函數
，的最大值，
∵直線
是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當
時，函數
，的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由
知在上單調遞增，故
；
（2）當
時，
，，有=2；
（3）當
時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若
即
時，
，
若
即
時，
，
若
即
時，。
綜上所述，有=
。
（III）當
時，
；
當
時，
，
，∴
，
，故當
時，
；
當時，
，由
知：
，故
；
當時，
，故
或
，從而有
或
，
要使，必須有
，
，即
，
此時，。
綜上所述，滿足的所有實數a為：
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