2005年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）
數學（理工農醫類）
考生注意：
1．答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚.
2．本試卷共有22道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.
一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1．函數的反函數=__________.
2．方程的解是__________.
3．直角坐標平面中，若定點與動點滿足，則點P的軌跡方程是__________.
4．在的展開式中，的系數是15，則實數=__________.
5．若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________.
6．將參數方程（為參數）化為普通方程，所得方程是__________.
7．計算：=__________.
8．某班有50名學生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程.從班級中任選兩名學生，他們是選修不同課程的學生的概率是__________.（結果用分數表示）
9．在中，若，AB=5，BC=7，則的面積S=__________.
10．函數的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍是__________.
長分別為.用它們拼成一個三棱柱
或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的
是一個四棱柱，則的取值范圍是__________.
12．用個不同的實數可得到個不同的排列，每個排列為一行寫成一個行的數陣.對第行，記，.例如：用1，2，3可得數陣如圖，由于此數陣中每一列各數之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的數陣中，=__________.
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分.
13．若函數，則該函數在上是 （ ）
A．單調遞減無最小值 B．單調遞減有最小值
C．單調遞增無最大值 D．單調遞增有最大值
14．已知集合，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
15．過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 （ ）
A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在
16．設定義域為R的函數，則關于的方程有7個不同實數解的充要條件是 （ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
18．（本題滿分12分）證明：在復數范圍內，方程（為虛數單位）無解.
19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.
（1）求點P的坐標；
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
假設某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，
（1）該市歷年所建中低價層的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？
（2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？
21．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
對定義域是、的函數、，規定：函數
.
（1）若函數，，寫出函數的解析式；
（2）求問題（1）中函數的值域；
（3）若，其中是常數，且，請設計一個定義域為R的函數，及一個的值，使得，并予以證明.
22．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分.
在直角坐標平面中，已知點，其中是正整數，對平面上任一點，記為關于點的對稱點，為關于點的對稱點，．．．，為關于點的對稱點.
（1）求向量的坐標；
（2）當點在曲線C上移動時，點的軌跡是函數的圖象，其中是以3為周期的周期函數，且當時，.求以曲線C為圖象的函數在上的解析式；
（3）對任意偶數，用表示向量的坐標.
說明
1，本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同.可參照解答中評分標準的精神進行評分.
2．評閱試卷，應堅持每題閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.
一、（第1題至第12題）
1． 2．x=0 3．x+2y－4=0 4． 5．
6． 7．3 8． 9． 10．
11． 12．－1080
二、（第13題至16題）
13.A 14.B 15.B 16.C
三、（第17題至第22題）
17．[解法一]由題意AB//CD，是異面直線BC1與DC所成的角.
又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.
在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于H，
得
又在中，可得，
在
∴異而直線BC1與DC所成角的大小為
[解法二]如圖，以D為坐標原點，分別以AD、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直
角坐標系.
所成的角為，
則
∴異面直線BC1與DC所成角的大小為
18．[證明]原方程化簡為
設 、，代入上述方程得
將（2）代入（1），整理得
無實數解，∴原方程在復數范圍內無解.
19．[解]（1）由已知可得點A（－6，0），F（4，0）
設點P的坐標是，由已知得
由于
（2）直線AP的方程是
設點M的坐標是（m，0），則M到直線AP的距離是，
于是
橢圓上的點到點M的距離d有
由于
20．解：（1）設中低價房面積形成數列，由題意可知是等差數列，
其中a1=250，d=50，則
令 即
∴到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.
（2）設新建住房面積形成數列{bn}，由題意可知{bn}是等比數列，
其中b1=400，q=1.08， 則bn=400?(1.08)n－1
由題意可知
有250+(n－1)50>400 ? (1.08)n－1 ? 0.85.
由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6，
∴到2009年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.
21．解（1）
（2）當
若其中等號當x=2時成立，
若其中等號當x=0時成立，
∴函數
（3）[解法一]令
則
于是
[解法二]令，
則
于是
22．[解]（1）設點，A0關于點P1的對稱點A1的坐標為
A1關于點P2的對稱點A2的坐標為，所以，
（2）[解法一]的圖象由曲線C向右平移2個單位，再向上平移
4個單位得到.
因此，基線C是函數的圖象，其中是以3為周期的周期函數，且當
[解法二]設
若
當
（3）
由于，
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