Question

【題目】彈跳桿運動是一項廣受歡迎的運動。某種彈跳桿的結構如圖甲所示，一根彈簧套在T型跳桿上，彈簧的下端固定在跳桿的底部，上端固定在一個套在跳桿上的腳踏板底部。一質量為M的小孩站在該種彈跳桿的腳踏板上，當他和跳桿處于豎直靜止狀態時，彈簧的壓縮量為x0。從此刻起小孩做了一系列預備動作，使彈簧達到最大壓縮量3x0，如圖乙（a）所示；此后他開始進入正式的運動階段。在正式運動階段，小孩先保持穩定姿態豎直上升，在彈簧恢復原長時，小孩抓住跳桿，使得他和彈跳桿瞬間達到共同速度，如圖乙（b）所示；緊接著他保持穩定姿態豎直上升到最大高度，如圖乙（c）所示；然后自由下落。跳桿下端觸地(不反彈)的同時小孩采取動作，使彈簧最大壓縮量再次達到3x0；此后又保持穩定姿態豎直上升，……，重復上述過程。小孩運動的全過程中彈簧始終處于彈性限度內。已知跳桿的質量為m，重力加速度為g。空氣阻力、彈簧和腳踏板的質量、以及彈簧和腳踏板與跳桿間的摩擦均可忽略不計。

（1）求彈跳桿中彈簧的勁度系數k，并在圖丙中畫出該彈簧彈力F的大小隨彈簧壓縮量x變化的示意圖；

（2）借助彈簧彈力的大小F隨彈簧壓縮量x變化的F-x圖像可以確定彈力做功的規律，在此基礎上，求在圖乙所示的過程中，小孩上升到彈簧原長時的速率；

（3）求在圖乙所示的過程中，彈跳桿下端離地的最大高度。

Answer 1

【答案】（1）k＝

（2）2

（3）

【解析】

（1）小孩處于靜止狀態時，根據平衡條件有：

解得：

圖像如圖：

（說明：畫出過原點的直線即可得分）

（2）利用圖像可知，圖線與橫軸所圍的面積大小等于彈簧彈力做功的大小，即彈力做功為，小孩從開始到彈簧恢復原長過程中小孩和彈簧系統機械能守恒，因此有：

此時速度為

（3） 彈簧恢復原長時小孩迅速抓住跳桿的瞬間，內力遠大于外力，小孩和彈跳桿系統動量守恒。設小孩和彈跳桿共同速度為 ，規定豎直向上方向為正，有：

小孩和彈跳桿一起豎直上升至最高點，小孩和彈跳桿系統機械能守恒，因此有：

綜上所述本題答案是：（1）；（2）；（3）