Question

如圖所示，兩條足夠長的互相平行的光滑金屬導軌位于水平面內，距離為L=0.5m．在導軌的一端分別接有阻值均為0.6Ω的電阻R₁、R₂，在x≥0處有一與水平面垂直的勻強磁場，磁感應強度B=1T．一質量m=0.2kg的金屬桿垂直放置在導軌上，金屬直桿的電阻是r=0.2Ω，其他電阻忽略不計，金屬直桿以一定的初速度v₀=4m/s進入磁場，同時受到沿x軸正方向的恒力F=3.5N的作用，在x=2m處速度達到穩定．求：
（1）金屬直桿達到的穩定速度v₁是多大？
（2）若拉力在金屬棒達到穩定速度前某一時刻突然反向，大小不變，從拉力反向到棒的速度減為零時止，通過R₁的電量為0.1C，R₁上產生的熱量為0.54J，則拉力反向時棒的速度v₃多大？

Answer 1

分析：（1）金屬直桿穩定時做勻速直線運動，合力為零，推導出安培力與速度的關系式，由安培力與恒力F平衡，求解速度v₁．
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律得到感應電荷量q=

△Φ

R總

求解金屬桿通過的距離，再根據能量守恒定律求解速度v₃．

解答：解：（1）金屬直桿的速度達到穩定時，產生的感應電動勢為：E=BLv₁；
感應電流為：I=

E

R總

金屬桿所受的安培力：F_安=BIL
而R_總=

R1R2

R1+R2

+r=（0.3+0.2）Ω=0.5Ω
聯立得：F_安=

B2L2v1

R總

根據平衡條件得：F=F_安，
聯立得：v₁=

FR總

B2L2

=

3.5×0.5

12×0．52

m/s=7m/s
（2）設從拉力反向到棒的速度減為零時桿通過的距離為s．
由于R₁、R₂并聯，則通過金屬桿的電量：q=2×0.1C=0.2C．
又 q=

.

I

△t=

. E

R   總

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLs
聯立得：q=

BLs

R總

得：s=

qR總

BL

=

0.2×0.5

1×0.5

m=0.2m
由題意，R₁上產生的熱量為 Q₁=0.54J，則R₂上產生的熱量為：Q₂=Q₁=0.54J
設金屬桿產生的熱量為Q_r．根據串聯電路的特點可得：

Qr

2Q1

=

R并

r

，
得：Q_r=

R并

r

?2Q₁=

0.3

0.2

×2×0.54J=1.62J
根據能量守恒定律得：2Q₁+Q_r+Fs=

1

2

m

v

2 3

得：v₃=

2(2Q1+Qr+Fs) m

=

2×(2×0.54+1.62+3.5×0.2) 0.2

=

34

m/s
答：（1）金屬直桿達到的穩定速度v₁是7m/s．
（2）拉力反向時棒的速度v₃是

34

m/s．

點評：本題是電磁感應與力學、電路等等知識的綜合應用，關鍵要會推導安培力和感應電量表達式．