Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P,其質量m=2×10^-2 kg,電荷量q="0.2" C.將彈簧拉至水平后，以初速度V₀="20" m/s豎直向下射出小球P,小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小V="15" m/s.若O、O₁相距R="1.5" m,小球P在O₁點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的勻強磁場。此后，小球P在豎直平面內做半徑r="0.5" m的圓周運動。小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g="10" m/s²。那么，

（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
（2）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。
(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。

Answer 1

見解析

（1）設彈簧的彈力做功為W，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　①
代入數據，得：W＝J　　　　　　　　　　　　　　　　②
（2）由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有:     ③
而：　　　　　　　　　　　　　　　　            ④
若P、N碰后速度同向時，計算可得V<v1，這種碰撞不能實現。P、N碰后瞬時必為反向運動。有：                   ⑤

P、N速度相同時，N經過的時間為，P經過的時間為。設此時N的速度V1的方向與水平方向的夾角為，有：
　　　　　　　                             ⑥
　　　　　　　　　　　  　         ⑦
代入數據，得：　　　　　　　　　　             ⑧
對小球P，其圓周運動的周期為T，有：
　　　　　　　　　　　　　            　      ⑨
經計算得：＜T，
P經過時，對應的圓心角為，有：　　　     ⑩
當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：
聯立相關方程得：
比較得，，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同。
當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有：，
同上得：，
比較得，，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同。
（3）當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同，，
再聯立④⑦⑨⑩解得：
當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同，
同理得：，
考慮圓周運動的周期性，有:
（給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值）