Question

（2008?南通二模）質量為m的小球由長為L的細線系住，細線的另一端固定在 A點，AB是過A的豎直線，且AB=L，E為AB的中點，過E作水平線 EF，在EF上某一位置釘一小釘D，如圖所示．現將小球懸線拉至水平，然后由靜止釋放，不計線與釘碰撞時的機械能損失．
（1）若釘子在E點位置，則小球經過B點前后瞬間，繩子拉力分別為多少？
（2）若小球恰能繞釘子在豎直平面內做圓周運動，求釘子D的位置離E點的距離x．
（3）保持小釘D的位置不變，讓小球從圖示的P點靜止釋放，當小球運動到最低點時，若細線剛好達到最大張力而斷開，最后小球運動的軌跡經過B點．試求細線能承受的最大張力T．

Answer 1

分析：（1）若釘子在E點位置，則小球經過B點前后瞬間，速度大小不變，半徑變為原來一半，先根據動能定理求出到達B點的速度，再根據向心力公式分別求出繩子的拉力；
（2）小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，在最高點重力提供向心力，列出方程，從釋放到運動到最高點的過程中運用動能定理列出方程，聯立即可求解；
（3）小球做圓周運動到達最低點時，根據向心力公式列出方程，以后小球做平拋運動過B點，根據平拋運動的特點在水平和豎直方向列出方程，聯立即可求解；

解答：解：（1）小球從M點到B點的過程中，根據動能定理得：
mgL=

1

2

mv²
碰前：T₁-mg=m

v2

L

解得：T₁=3mg
碰后：T₂-mg=m

v2

( L 2 )

解得：T₂=5mg
（2）小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，在最高點時有速度v₁，此時做圓周運動的半徑為r，
則mg（

L

2

-r）=

1

2

mv₁²    ①
且mg=m

v 2 1

r

②
由幾何關系：x²=（L-r）²-（

L

2

）²    ③
由以上三式可得：
r=

L

3

    ④
x=

7

6

L   ⑤
（3）小球做圓周運動到達最低點時，速度設為v₂則
T-mg=m

v 2 2

r

⑥
以后小球做平拋運動過B點，
在水平方向有x=v₂t    ⑦
在豎直方向有：

L

2

-r=

1

2

gt²    ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得：T=

11

4

mg
答：（1）若釘子在E點位置，則小球經過B點前后瞬間，繩子拉力分別為3mg，5mg；
（2）若小球恰能繞釘子在豎直平面內做圓周運動，釘子D的位置離E點的距離x為

7

6

L．
（3）細線能承受的最大張力T為

11

4

mg．

點評：本題考查的知識點比較多，涉及到圓周運動、平拋運動的基本公式，要求同學們解題時能熟練運用動能定理并結合幾何知識解題，難度較大．