Question

“嫦娥一號”探月衛星的成功發射，實現了中華民族千年奔月的夢想．假若我國的航天員登上某一星球并在該星球表面上做了如下圖所示力學實驗：讓質量為m=1.0kg的小滑塊以v₀=1m/s的初速度從傾角為53°的斜面AB的頂點A滑下，到達B點后恰好能沿傾角為37°的斜面到達C點．不計滑過B點時的機械能損失，滑塊與斜面間的動摩擦因數均為μ=0.5，測得A、C兩點離B點所在水平面的高度分別為h₁=1.2m，h₂=0.5m．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計該星球的自轉以及其他星球對它的作用．
（1）求該星球表面的重力加速度g；
（2）若測得該星球的半徑為R=6×10⁶m，宇航員要在該星球上發射一顆探測器繞其做勻速圓周運動，則探測器運行的最大速度為多大？
（3）取地球半徑R₀=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，求該星球的平均密度與地球的平均密度之比

ρ

ρ0

．

Answer 1

分析：（1）小滑塊從A到C的過程中，對滑塊進行受力分析和做功分析，根據動能定理列方程求得重力加速度；
（2）根據萬有引力提供向心力、重力等于萬有引力列式，求解探測器的最大速度．
（3）根據密度公式和黃金代換式GM=gR²，求解星球的平均密度與地球的平均密度之比．

解答：解：（1）小滑塊從A到C的過程中，由動能定理得：
mg（h₁-h₂）-μmgcos53°?

h1

sin53°

-μmgcos37°?

h2

sin37°

=0-

1

2

m

v

2 0

代人數據解得：g=6m/s²
（2）設探測器質量為m′，探測器繞該星球表面做勻速圓周運動時運行最大速度，由牛頓第二定律和萬有引力得：
G

Mm′

R2

=m′

v2

R

 
又G

Mm

R2

=mg
解得：v=

gR

代人數據解得：v=6km/s
（3）由星球密度ρ=

M

4 3 πR3

和GM=gR²得該星球的平均密度與地球的平均密度之比

ρ

ρ0

=

gR0

g0R

．
代人數據解得：

ρ

ρ0

=0.64．
答：
（1）該星球表面的重力加速度g為6m/s²；
（2）則探測器運行的最大速度為6km/s．
（3）該星球的平均密度與地球的平均密度之比

ρ

ρ0

為0.64．

點評：萬有引力應用主要從萬有引力提供圓周運動的向心力和星球表面重力和萬有引力相等兩方面入手分析．