Question

【題目】如圖所示，軌道ABCD在豎直平面內，其中AB段為光滑斜面，BC段為粗糙水平面，動摩擦因素為μ，CD是光滑曲面，D為曲面上半徑為R的小部分球面的頂點，頂點切線水平，離水平面高為h。質量為m的小物塊P在斜面上，若在距水平面高H處由靜止釋放，物塊能沿著軌道ABCD到達D處。不計小物塊在B轉折處能量的損失。

（1）求物塊在水平面上滑行時加速度的大小；

（2）若物塊運動到D處時剛好能脫離，求它在C處時的速度；

（3）證明：物塊不脫離D點的條件為。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）物塊在水平面上運動時，合力由滑動摩擦力提供，根據牛頓第二定律有

聯立解得

（2）當物塊到達D點時剛好脫離球面，此時物塊的重力提供向心力，有

可得

而物塊由C到D，由機械能守恒有

聯立解得

（3）證明：物塊在斜面上下滑時機械能守恒，有

解得

物塊水平面上作勻減速直線運動，有

將和代入，得

即，將代入上式中的，得

當物塊到達D點時速度剛好為零，在這種情況下物塊在C處時有最小速度，

物塊由C到D，機械能守恒，有

可得

將代入中的，得

所以物塊不脫離D點的條件為，得證。