Question

【題目】如圖所示，豎直平面內固定有一半徑R＝1m的光滑圓軌道AB和一傾角為45°且高為H＝5m的斜面CD，二者間通過一水平光滑平臺BC相連，B點為圓軌道最低點與平臺的切點。現將質量為m的一小球從圓軌道A點正上方h處（h大小可調）由靜止釋放，巳知重力加速度g＝10m/s2，且小球在點A時對圓軌道的壓力總比在最低點B時對圓軌道的壓力小3mg。

（1）若h＝0，求小球在B點的速度大小；

（2）若h＝0.8m，求小球落點到C點的距離；（結果可用根式表示）

（3）若在斜面中點豎直立一擋板，使得無論h為多大，小球不是越不過擋板，就是落在水平地面上，則擋板的最小長度為多少?

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1.25m

【解析】（1）從釋放小球至A點根據速度與位移關系有：

在A點，根據牛頓第二定律：

在B點，根據牛頓第二定律：

根據題意有：

故

若，則小球在B點的速度：；

（2）小球從B至C做勻速直線運動，從C點滑出后做平拋運動，若恰能落在D點則

水平方向：

豎直方向：

又因為斜面傾角為，則：

解得，對應的高度

若，小球將落在水平地面上，而小球在B點的速度：

小球做平拋運動豎直方向：，得：

則水平方向：

故小球落地點距C點的距離：；

（3）若要求無論h為多大，小球不是打到擋板上，就是落在水平地面上，臨界情況是小球擦著擋板落在D點，經前面分析可知，此時在B點的臨界速度：

則從C點至擋板最高點過程中水平方向：

豎直方向：

又：

解得：。