Question

如圖所示，傾角θ=30°、長L=2.7m的斜面，底端與一個光滑的1/4圓弧平滑連接，圓弧底端切線水平．一個質量為m=1kg的質點從斜面最高點A沿斜面下滑，經過斜面底端B恰好到達圓弧最高點C，又從圓弧滑回，能上升到斜面上的D點，再由D點由斜面下滑沿圓弧上升，再滑回，這樣往復運動，最后停在B點．已知質點與斜面間的動摩擦因數為μ=

3

/6，g=10m/s²，假設質點經過斜面與圓弧平滑連接處速率不變．求：
（1）質點第1次經過B點時對圓弧軌道的壓力；
（2）質點從A到D的過程中質點下降的高度；
（3）質點從開始到第6次經過B點的過程中因與斜面摩擦而產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出質點第一次到達B點的速度，結合牛頓第二定律和第三定律求出質點對圓弧軌道的壓力．
（2）對AB段和BD段分別運用動能定理，求出BD的長度，從而得出質點從A到D的過程中質點下降的高度．
（3）分別對上滑過程和下滑過程運用動能定理，得出上滑的位移與下滑的位移的關系，從而找出規律，得出質點在斜面上運動的路程，通過Q=fs求出產生的熱量．

解答：解：（1）設圓弧的半徑為R，則質點從C到B過程，由

mgR= 1 2 mυ2 FN-mg=m υ2 R

得：F_N=3mg=3×1×10N=30N  
根據牛頓第三定律，質點第1次經過B點對圓弧軌道的壓力為30N．
（2）設質點第一次由B點沿斜面上滑的速度為υ₁，B點到D點的距離為L₁

mgLsin30o-μmgcos30oL= 1 2 m υ 2 1 -mgL1sin30o-μmgcos30oL1=0- 1 2 m υ 2 1

代入數據解得：L1=

1

3

L=0.9m  
則質點從A點到D點下降的高度h=0.9m  
（3）設質點第2次由B點沿斜面上滑的速度為υ₂，沿斜面上滑的距離為L₂．則

mgL1sin30o-μmgcos30oL1= 1 2 m υ 2 2 -mgL2sin30o-μmgcos30oL2=0- 1 2 m υ 2 2

得：L2=

1

3

L1
同理可推得：質點第n次由B點沿斜面上滑的距離L_n為Ln=

1

3

Ln-1=(

1

3

)nL
所以質點從開始到第6次經過B點的過程中，在斜面上通過的路程為
S=L+2（L₁+L₂）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J   
答：（1）質點第1次經過B點時對圓弧軌道的壓力為30N．
（2）質點從A到D的過程中質點下降的高度為0.9m．
（3）質點從開始到第6次經過B點的過程中因與斜面摩擦而產生的熱量為12.75J．

點評：本題考查了考查了動能定理和牛頓第二定律，綜合性較強，難度中等，關鍵是理清運動過程，選擇合適的過程運用動能定理進行求解．