Question

如圖所示為某鋼鐵廠的鋼軌傳送裝置，斜坡長為L=20m，高為h=2m，斜坡上緊排著一排滾筒，長為l=8m、質量為m=1×10³ kg的鋼軌放在滾筒上，鋼軌與滾筒間的動摩擦因數為μ=0.3，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉動，滾筒邊緣的線速度均為v=4m/s，使鋼軌沿斜坡向上移動，并假設關閉電動機的瞬時滾筒立即停止轉動，鋼軌對滾筒的總壓力近似等于鋼軌的重．求：
（1）鋼軌從坡底（如圖示位置）從靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間，
（2）鋼軌從坡底（如圖示位置）從靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機對鋼軌至少做多少功．

Answer 1

分析：（1）先對木料受力分析，求出加速度；然后根據位移時間公式列式求解；
（2）先對滾筒加速和減速階段受力分析，求出加速度，再對恰好滑到最高點的臨界情況運用運動學公式列式求解．

解答：解：（1）木料開始受到的滑動摩擦力為f₁=μmg=3×10³ N  ①
由牛頓第二定律得：f₁-mg sinα=ma_{1 ②}，
①②聯立得：a₁=2  m/s²
由勻減速運動公式  
t₁=

v

a1

=2 s
s₁=

1

2

a₁t₁²=4 m
s₂=L-l-s₁=8 m
t2=

s2

v

=2s
t=t₁+t₂=4 s
（2）最后一段運動關閉發動機，鋼軌勻減速上升：f₁+mg sinα=ma₂，
代入數據得：a₂=4 m/s²，
勻減速運動時間：t3=

v

a2

=

4

4

s=1s
勻減速運動的位移：s₃=vt₃-

1

2

a₂t₃²=2 m
s₂=L-l-s₁-s₃=6 m，
由動能定理得：Wf-mg(s1+s2)sinα=

1

2

mv2
代入數據求得；W_f=1.8×10⁴ J
答：（1）鋼軌從坡底（如圖示位置）從靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間為4s，
（2）鋼軌從坡底（如圖示位置）從靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機對鋼軌至少做1.8×10⁴ J功．

點評：本題關鍵是對木塊受力分析，根據牛頓第二定律求出加速度，然后運用運動學公式列式求解．