Question

如圖所示，B的質量為2m，半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面．A是質量為m的細長直桿，被固定的光滑套桿D約束在豎直方向上，A可以自由上下運動，物塊C的質量是m，緊靠半球形碗放置．初始時A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸．然后從靜止開始釋放A，則A、B、C便開始運動．求
（1）當長直桿A的下端運動到碗的最低點時，長直桿A的速度和B、C的速度？
（2）當長直桿A的下端運動到距半球形碗的最低點

R

2

處，長直桿A的速度和B、C的速度？

Answer 1

分析：（1）長直桿的下端運動到碗內的最低點時v_B=v_C，由系統的機械能守恒即可求解；
（2）此題長直桿可沒有越過最低點，也可能越過了最低點，分兩種情況討論．A滑到最低點前，對B始終存在彈力，有向右的水平分量，根據系統的機械能守恒和A、B速度關系列式求解；當長直桿越過最低點后，B和C分離，再由機械能守恒列式求解．

解答：解：（1）長直桿的下端運動到碗的最低點時，長直桿在豎直方向的速度為0，而B、C沿水平方向運動，設速度為v_B=v_C=v．由機械能守恒定律得
   mgR=

1

2

?3mv²
解得，v_B=v_C=v=

2 3 gR

（2）A滑到最低點前，對B始終存在彈力，有向右的水平分量，故在此之前，BC共同加速不分離．
   設A沿豎直方向運動，速度為v_A，B、C沿水平方向運動，速度為v_B=v_C，且A桿的位置用θ表示，θ為碗面的球 心O至A桿下端與球面接觸點的連線方向與豎直方向的夾角．
v_A，v_B的速度矢量圖如圖中平行四邊形所示，由圖得
   v_B=v_Acotθ
由機械能守恒得 mgR=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

2m

v

2 B

+

1

2

m

v

2 C

解得 v_A=

2gRcosθ 1+3cot2θ

，v_B=v_C=

2gRcosθcot2θ 1+3cot2θ

當滑到

R

2

處時，θ=60°，則得v_A=

gR 2

，v_B=v_C=

gR 6

   當長直桿越過最低點后，B和C分離，長直桿的下端上升到所能達到的最高點時，長直桿在豎直方向上的速度為零．
  則有

1

2

2mv2=mgh，h=

2

3

R
則到

R

2

處A和B機械能守恒，則得
 

1

2

?2m

v

2 B

=mg

R

2

+

1

2

m

v

′2 A

+

1

2

2m

v

′2 B

又v_B′=v_A′cotθ
解得 v_A′=

1 5 gR

，v_B′=

1 15 gR

，v_C′=

2 3 gR

答：
（1）當長直桿A的下端運動到碗的最低點時，長直桿A的速度

gR 2

，B、C的速度均為

gR 6

．
（2）當長直桿A的下端運動到距半球形碗的最低點

R

2

處，當長直桿越過最低點前時，長直桿A、B、C的速度分別為

1 5 gR

，

1 15 gR

，

2 3 gR

；當長直桿越過最低點后，分別為

1 5 gR

，

1 15 gR

，

2 3 gR

．

點評：此題主要考查了機械能守恒定律的直接應用，要知道長直桿的下端第一次運動到碗內的最低點時，A的水平方向速度為零，長直桿的下端上升到的最高點時直桿豎直方向速度為零，難度較大．