Question

如圖所示，兩個金屬輪A₁、A₂，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細軸O₁和O₂轉動，O₁和O₂相互平行，水平放置．每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環組成，A₁輪的輻條長為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長也為a₁、電阻為R₂，連接輻條的金屬環的寬度與電阻都可以忽略．半徑為a₀的絕緣圓盤D與A₁同軸且固連在一起，一輕細繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數后，懸掛一質量為m的重物P．當P下落時，通過細繩帶動D和A₁繞軸轉動．轉動過程中A₁、A₂保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自軸之間保持良好接觸，無相對滑動；兩輪與各自細軸之間保持良好的電接觸；兩細軸通過導線與一阻值為R的電阻相連．除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬電阻都不計．整個裝置處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉軸平行，現將P由靜止起釋放，
（1）在圖中標明八根輻條中的電流方向并畫出該裝置的等效電路圖
（2）在由靜止開始下落過程中，整個系統的能量是如何轉化的？
（3）定性畫出物體由靜止開始下落過程中的速度-時間圖象
（4）求：P下落過程中的最大速度．

Answer 1

分析：（1）根據右手定則可確定感應電流的方向，并作出等效電路圖；
（2）根據能量守恒定律，可知，加速過程的能量：重力勢能轉化為動能與內能；勻速過程中：重力勢能轉化為內能．
（3）根據牛頓第二定律，結合受力分析，可知速度與時間的關系；
（4）根據角速度與半徑關系，可確定感應電動勢的大小關系，并由電源的并串聯可知，根據閉合電路歐姆定律，與重力功率等于發熱功率，即可求解．

解答：解：（1）P被釋放后，細繩的張力對D產生機械力矩，帶動D和A₁作逆時針的加速轉動，通過兩個輪子之間無相對運動的接觸，A₁帶動A₂作順時針的加速運動．由于兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在A₁產生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在A₂產生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經電阻R構成閉合電路．A₁、A₂中各輻條上流有沿電動勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力．不難看出，安培力產生的電磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速轉動的勢頭減緩．A₁、A₂從起始的靜止狀態逐漸加速轉動，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速轉動，均作勻角速轉動，此時P勻速下落，
電流方向：左邊的四條電流方向均指向圓心，右邊的四條電流方向均背向圓心．
等效電路如左圖所示：
（2）加速過程的能量轉化：重力勢能轉化為動能和內能；
勻速階段：重力勢能轉化為內能．
（3）物體由靜止開始下落過程中的速度-時間：先做加速度減小的加速運動，后做勻速直線運動．圖象如右圖所示，
（4）設其速度為v，則A₁的角速度ω1=

v

a1

（1）
A₁帶動A₂轉動，A₂的角速度ω₂與A₁的角速度ω₁之間的關系為ω₁a₁=ω₂a₁（2）
A₁中每根輻條產生的感應電動勢均為E1=

1

2

B

a

2 1

ω1 （3）
軸與輪邊之間的電動勢就是A₁中四條輻條電動勢的并聯，其數值見（3）式．同理，A₂中，軸與輪邊之間的電動勢就是A₂中四條輻條電動勢的并聯，其數值E2=

1

2

B

a

2 1

ω2（4）
A₁中每根輻條的電阻為R₁，軸與輪邊之間的電動勢就是A₁中四條輻條電動勢的并聯，其數值為R_A1=

R1

4

（5）
A₂中每根輻條的電阻為R₂，軸與輪邊之間的電動勢就是A₂中四條輻條電動勢的并聯，其數值為R_A2=

R2

4

（6）
A₁輪、A₂輪和電阻R構成串聯回路，其中的電流為I=

E1+E2

R+RA1+RA2

（7）
以（1）至（6）式代入（7）式，得I=

B a 2 1 a0 v

R+ R1 4 + R2 4

（8）
當P勻速下降時，對整個系統來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即 mgv=I²（R+

R1

4

+

R2

4

） （9）
以（8）式代入（9）式得V=

mg(4R+R1+R2)a02

4B2a14

答：（1）在圖中標明八根輻條中的電流方向，并畫出該裝置的等效電路圖如左上圖．
（2）在由靜止開始下落過程中，整個系統的能量是加速過程的能量轉化：重力勢能轉化為動能和內能；
勻速階段：重力勢能轉化為內能．
（3）定性畫出物體由靜止開始下落過程中的速度-時間圖象：如右上圖．
（4）求：P下落過程中的最大速度V=

mg(4R+R1+R2)a02

4B2a14

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點評：考查桿切割磁感線，掌握右手定則、法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律，學會畫等效電路圖，同時掌握速度與時間的圖象．