Question

【題目】圖示的環狀軌道處于豎直面內，它由半徑分別為R和2R的兩個半圓軌道、半徑為R的兩個四分之一圓軌道和兩根長度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成．以水平線MN和PQ為界，空間分為三個區域，區域I和區域Ⅲ有磁感應強度為B的水平向里的勻強磁場，區域I和Ⅱ有豎直向上的勻強電場．一質量為m、電荷量為+q的帶電小環穿在軌道內，它與兩根直軌道間的動摩擦因數為μ（0＜μ＜1），而軌道的圓弧形部分均光滑．在電場中靠近C點的地方將小環無初速釋放，設小環電量保持不變（已知區域I和II的勻強電場強大小為E= ，重力加速度為g）．求：

（1）小環在釋放時加速度aC的大小
（2）小環第一次通過軌道最高點A時受到軌道的壓力N的大小
（3）若從C點釋放小環的同時，在區域II再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強電場，其場強大小為E′= ，討論小環在兩根直軌道上通過的總路程s總 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：對小環在C點，由牛頓第二定律得：

qE﹣mg=mac，

解得：ac=g；

答：小環在釋放時加速度aC的大小為g；

（2）解：從C到A，洛倫茲力不做功，小環對軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力，由動能定理得：

qE5R﹣mg5R= mvA2﹣0，

小環過A點時，由牛頓第二定律得：

F+mg﹣qvAB﹣qE=m ，

解得：F=11mg+qB ；

答：小環第一次通過軌道最高點A時受到軌道的壓力N的大小為11mg+qB ；

（3）解：由于0＜μ＜1，小環必能通過A點，以后有二種可能：

①可能恰好停在K點，對整個運動過程，由動能定理：

qE3R﹣mg3R﹣μqE′s總=0，

解得：s總= ；

②還可能最終在D或D′點速度為零（即在D與D′點之間往復運動）．由動能定理得：

qE4R﹣mg4R﹣μqE′s總=0，

解得：s總= ；

答：若從C點釋放小環的同時，在區域II再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強電場，其場強大小為E′= ，小環在兩根直軌道上通過的總路程s總為 或 ．

【解析】（1）由牛頓第二定律可以求出加速度．（2）由動能定理求出環速度，由牛頓第二定律求出壓力．（3）應用動能定理求出環的路程．