Question

【題目】【加試題】如圖所示，間距為L、光滑的足夠長的金屬導軌(金屬導軌的電阻不計)所在斜面傾角為，兩根同材料、長度均為L、橫截面均為圓形的金屬棒 CD、PQ放在斜面導軌上，已知CD棒的質量為、電阻為R，PQ棒的圓截面的半徑是CD棒圓截面的2倍．磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌所在平面向上，兩根勁度系數均為、相同的彈簧一端固定在導軌的下端，另一端連著金屬棒CD．開始時金屬棒CD靜止，現用一恒力平行于導軌所在平面向上拉金屬棒PQ，使金屬棒PQ由靜止開始運動，當金屬棒PQ達到穩定時，彈簧的形變量與開始時相同．已知金屬棒PQ開始運動到穩定的過程中通過CD棒的電荷量為q，此過程可以認為CD棒緩慢地移動，已知題設物理量符合的關系式，求此過程中(要求結果均用來表示)：

（1）CD棒移動的距離；

（2）PQ棒移動的距離；

（3）恒力所做的功．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】PQ棒的半徑是CD棒的2倍，PQ棒的橫截面積是CD棒橫截面積的4倍，PQ棒的質量是CD棒的質量的4倍，所以，PQ棒的質量，由電阻定律可知PQ棒的電阻是CD棒電阻的即，兩棒串聯的總電阻為

（1）開始時彈簧是壓縮的，當向上的安培力增大時，彈簧的壓縮量減小，安培力等于CD棒重力平行于斜面的分量時，彈簧恢復到原長，安培力繼續增大，彈簧伸長，由題意可知，當彈簧的伸長量等于開始的壓縮量時達到穩定狀態，此時的彈力與原來的彈力大小相等、方

向相反．兩彈簧向上的彈力等于CD棒重力平行于斜面的分量．

即，彈簧的形變量為

CD棒移動的距離

（2）在達到穩定過程中兩棒之間距離增大，由兩金屬棒組成的閉合回路中的磁通量發生變化，產生感應電動勢為:

感應電流為:

所以，回路中通過的電荷量即CD棒中的通過的電荷量為:

由此可得兩棒距離增大值:

PQ棒沿導軌上滑距離應為CD棒沿斜面上滑距離和兩棒距離增大值之和

PQ棒沿導軌上滑距離為:

（3）CD棒受力平衡，安培力為．

金屬棒PQ達到穩定時，它受到的合外力為零，向上的恒力等于向下的安培力和重力平行于斜面的分量，

即恒力

恒力做功為