Question

（2009?安徽模擬）在有“科學奧斯卡”之稱的美國《科學》雜志2003年度世界科技大突破評選中，wulixue 中的“證明宇宙是由暗物質和暗能量‘主宰’”的觀點名列榜首，成為當今科技突破中的頭號熱點．世界科技的發展顯示，暗物質、暗能量正成為天體物理學研究的重點．宇宙的暗物質是不能直接觀測到的東西，存在的依據來自于螺旋轉的星系和星團，這些星系和星團以自身為中心高速旋轉而沒有分散開去，僅靠自身質量產生的引力遠不足以把它們集合在一起的，一定存在暗物質，它的吸引力足以把這些旋轉的星系牢牢抓住，根據對某一雙星系統的光學測量確定該雙星系統中每一個星體的質量都是M，兩者相距L（L遠大于星體的直徑），它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．
（1）若沒有其他物質存在，試推斷該雙星系統的運動周期T．
（2）若試驗上觀測到的運動周期為T’，且T’：T=1：

N

（N＞1），為了解釋觀測周期T’和（3）中理論上推算的雙星運動的周期T不同，目前有一種理論認為，在宇宙中可能存在一種用望遠鏡也觀測不到的暗物質，作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

分析：（1）雙星系統圍繞兩者連線的中點做圓周運動，相互間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期T．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，雙星系統就由相互間的萬有引力的暗物質的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質的質量，再求解其密度．

解答：解：（1）由萬有引力提供向心力有：

GMM

L2

=M?

L

2

4π2

T2

  ①
解得T=πL

2L GM

（2）設暗物的密度為ρ，質量為m，則
m=ρ?

4

3

π(

L

2

)3=πρ

L3

6

再由萬有引力提供向心力有：

GMM

L2

+

GMM

( L 2 )2

=M?

L

2

?

4π2

T′ 2

②
由

①

②

得

M

M+4m

=

1

N

又m=πρ

L3

6

代入上式解得：
  ρ=

3(N-1)M

2πL3

答：（1）該雙星系統的運動周期是πL

2L GM

．
（2）該星系間這種暗物質的密度為

3(N-1)M

2πL3

．

點評：對于雙星問題和暗物質問題，關鍵都要建立模型，確定向心力的來源．若雙星圓周運動的圓心不在連線的中點，要采用隔離法研究．