Question

人造衛星繞地球做勻速圓周運動，設地球半徑為R，地面重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）

• A．人造衛星的最小周期為2π

  R g

• B．人造衛星在距地面高度R處的繞行速度為

  Rg 2

• C．人造衛星在距地面高度為R處的重力加速度為

  g

  4

• D．地球同步衛星的速率比近地衛星速率小，所以發射同步衛星所需的能量較少

Answer 1

分析：根據人造衛星的萬有引力等于向心力和地球表面重力等于萬有引力，列式求解出周期、線速度、加速度的表達式進行討論．

解答：解：A、人造衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，設衛星的質量為m、軌道半徑為r、地球質量為M，有
F=F_向
F=G

Mm

r2

F_向=m

v2

r

=mω²r=m（

2π

T

）²r
因而
G

Mm

r2

=m

v2

r

=mω²r=m（

2π

T

）²r=ma
解得
v=

GM r

   ①
T=

2πr

v

=2π

r3 GM

   ②
a=

GM

r2

    ③
同時根據地球表面重力等于萬有引力，有
mg=

GM

R2

   ④
由②④兩式得到人造衛星的周期為
T=2π

r3 gR2

故當r=R時，周期最小，為2π

R g

，故A正確；
B、由①④兩式得到人造衛星的線速度為
v=

gR2 r

故當高度為R時，r=2R，有v=

gR 2

，故B正確；
C、由③④兩式得到人造衛星的加速度為
a=

gR2

r2

故當高度為R時，r=2R，有a=

g

4

，故C正確；
D、由①式，同步衛星的軌道半徑大，速度小，但發射到同步軌道需要克服地球引力做較多的功，故D錯誤；
故選ABC．

點評：本題關鍵根據人造衛星的萬有引力等于向心力，以及地球表面重力等于萬有引力列兩個方程求解．