Question

（2008?北京）有兩個完全相同的小滑塊A和B，A沿光滑水平面以速度v₀與靜止在平面邊緣O點的B發生正碰，碰撞中無機械能損失．碰后B運動的軌跡為OD曲線，如圖所示．
（1）已知滑塊質量為m，碰撞時間為△t，求碰撞過程中A對B平均沖力的大小．
（2）為了研究物體從光滑拋物線軌道頂端無初速下滑的運動，特制做一個與B平拋軌道完全相同的光滑軌道，并將該軌道固定在與OD曲線重合的位置，讓A沿該軌道無初速下滑（經分析，A下滑過程中不會脫離軌道）．
a．分析A沿軌道下滑到任意一點的動量p_A與B平拋經過該點的動量p_B的大小關系；
b．在OD曲線上有一M點，O和M兩點連線與豎直方向的夾角為45°．求A通過M點時的水平分速度和豎直分速度．

Answer 1

分析：（1）AB滑塊在碰撞的過程中動量守恒，根據動量守恒可以求得碰后B的速度的大小，在由動量定理可以求得AB之間的相互的作用力的大小；
（2）a、A滑塊在運動的過程中，只有重力做功，它的機械能守恒，而B做的是平拋運動，B有一個水平方向的初速度，所以在任意的一個位置，B的合速度都要比A的速度大，由此可以分析它們的動量的關系；
b、M點在平拋運動的軌跡上，所以M點水平的位移和豎直方向上的位移滿足平拋運動的規律，再根據B滑塊做的是平拋運動，可以求得在M點的水平速度和豎直速度之間的關系．

解答：解：（1）滑動A與B正碰，滿足
mv_A-mV_B=mv₀ ①

1

2

mv_A²+

1

2

mv_B²=

1

2

mv₀                 ②
由①②，解得v_A=0，v_B=v₀，
根據動量定理，滑塊B滿足 F?△t=mv₀
解得 F=

mv0

△t

．
所以碰撞過程中A對B平均沖力的大小為

mv0

△t

．
（2）a．設任意點到O點豎直高度差為d．
A、B由O點分別運動至該點過程中，只有重力做功，所以機械能守恒．
選該任意點為勢能零點，有
E_A=mgd，E_B=mgd+

1

2

mv₀²
由于p=

2mEK

，
有

PA

PB

=

EKA EKB

=

2gd V 2 0 +2gd

＜1，
即   P_A＜P_B
所以A下滑到任意一點的動量總和是小于B平拋經過該點的動量．
b．以O為原點，建立直角坐標系xOy，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向下，則對B有
x=v₀t，
y=

1

2

gt²
B的軌跡方程 y=

g

2 v 2 0

x²，
在M點x=y，所以  y=

2 v 2 0

g

         ③
因為A、B的運動軌跡均為OD曲線，故在任意一點，兩者速度方向相同．
設B水平和豎直分速度大小分別為v_Bx和v_By，速率為v_B；
A水平和豎直分速度大小分別為v_Ax和v_Ay，速率為v_A，則

VAX

VA

=

VBX

VB

，

VAy

VA

=

VBy

VB

    ④
B做平拋運動，故v_Bx=v₀，v_By=

2gy

，v_B=

v 2 0 +2gy

  ⑤
對A由機械能守恒得v_A=

2gy

，⑥
由④⑤⑥得v_Ax=

V0 2gy

V 2 0 +2gy

，v_Ay=

2gy

V 2 0 +2gy

將③代入得 v_Ax=

2 5

5

v₀ ，v_Ay=

4 5

5

v₀．
所以A通過M點時的水平分速度為

2 5

5

v₀ ，豎直分速度的大小為

4 5

5

v₀．

點評：本題的第二問比較新穎，A沿著平拋軌跡的軌道運動，B做的是平拋運動，它們的運動的軌跡相同，但是在每個地方的速度的情況并不相同，主要的區別就在于B有一個水平的初速度；
在計算M點的水平和豎直速度的大小的時候，充分的利用了B做平拋運動的規律，本題是考查平拋運動規律的一道好題．