Question

如圖甲所示，兩根光滑的金屬導軌MN、PQ彼此平行，相距L=0.5m，與水平面成θ=37°角放置，在導軌的上部接有一滑動變阻器，其最大阻值R=10Ω．一根質量為m=50g、電阻r=2Ω的直導體棒ab與導軌垂直放置且與導軌接觸良好．在圖示的矩形虛線區域內存在著垂直導軌平面向下、磁感應強度B=2T的勻強磁場，該磁場始終以速度v₀在矩形虛線區域內沿著導軌勻速向上運動．當滑片滑至滑動變阻器的中點時，導體棒恰能在導軌上靜止不動．金屬導軌的電阻不計，運動的過程中總能保證金屬棒處于磁場中．設軌道足夠長，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求磁場運動的速度v₀是多大？
（2）現將滑動變阻器接入電路的阻值迅速變為1Ω，求導體棒穩定運動時的速度大小及該過程中安培力的最大功率．
（3）若將滑動變阻器的滑片滑至某處后導體棒穩定運動時的速度用符號v表示，此時對應電路的總電阻用符號R_總表示，請推導速度v隨總電阻R_總變化的關系式，并在圖乙中準確地畫出此情況下的v-R_總圖象．

Answer 1

分析：（1）根據導體棒處于平衡，根據共點力平衡，結合閉合電路歐姆定律和切割產生的感應電動勢求出磁場的運動的速度．
（2）根據導體棒穩定時，處于平衡求出導體棒相對于磁場的速度大小，從而求出導體棒穩定時的速度大�。�當相對于磁場速度最大時，產生的電功率最大．
（3）根據穩定時平衡推導出相對速度與總電阻的關系式，從而推導出速度v隨總電阻R_總變化的關系式．

解答：解：（1）根據BIL=mgsin37°
又I=

BLv0

R+r

聯立解得：v0=

mg(R+r)

B2L2

=2.1m/s．
（2）當導體棒穩定時，有：mgsin37°=

B2L2v相對

R′+r

代入數據解得，v_相對=0.9m/s，
則導體棒的速度v=v₀-v_相對=2.1-0.9=1.2m/s．
當金屬棒相對磁場速度與2.1m/s時，產生的感應電流最大，安培力的功率最大，
有Pm=

B2L2vm2

R′+r

=

4× 1 4 ×2．12

3

W=1.47W．
（3）根據mgsin37°=

B2L2v相對

R總

解得v相對=

mgR總sin37°

B2L2

=0.3R總
則v=v₀-v_相對=2.1-0.3R_總（2Ω≤R_總≤12Ω）．

答：（1）磁場運動的速度v₀是2.1m/s．
（2）導體棒穩定運動時的速度大小為1.2m/s，安培力最大功率為1.47W．
（3）速度v隨總電阻R_總變化的關系式為2.1-0.3R_總（2Ω≤R_總≤12Ω）．

點評：解決本題的關鍵確定導體棒相對于磁場的速度，抓住受到重力的分力和安培力平衡進行求解．