Question

如圖所示，沿豎直方向取一條y軸，y軸向下為正，虛直線表示y=0的水平面．磁場方向水平向里，磁感應強度B的大小只隨y而變化，變化關系為B_y=B₀+ky（B₀和k為已知常數，且k＞0，y＞0），一個質量為m、邊長為L、電阻為R的正方形金屬框，從y＞0的某處由靜止開始沿豎直方向下落，下落速度越來越大，最終穩定為某一數值，稱為收尾速度．磁場足夠大，金屬框在整個下落過程都沒有離開磁場，且金屬框始終保持在的豎直平面內和不發生轉動，求
（1）金屬框中的感應電流方向；
（2）金屬框的收尾速度的大小．

Answer 1

（1）線圈下落過程中，穿過線圈中的磁通量增加，據楞次定律可知，金屬框中的感應電流方向為逆時針流向．  
（2）設下邊所處高度為y時線圈達到收尾速度v_m，線圈下落過程中，上、下兩邊切割磁感線，此時線圈中產生的感應電動勢為E，E=[B0+k(y+L)]Lvm-(B0+ky)Lvm=kL2vm
線圈中的感應電流為：I=

E

R

線圈上下邊受到的安培力分別為F₁、F₂，則F₁=（B₀+ky）IL
F₂=[B₀+k（y+L）]IL
線圈達收尾速度時，據力的平衡條件得：mg+F₁=F₂
聯立以上幾式可得：vm=

mgR

k2L4

答：金屬框中的感應電流方向為逆時針流向．金屬框的收尾速度vm=

mgR

k2L4