Question

如圖所示，在廣闊的宇宙空間存在這樣一個遠距其他空間的區域，以MN為界，上部分的勻強磁場的磁感應強度為B₁，下部分的勻強磁場的磁感應強度為B₂，B₁=2B₂=2B₀、方向相同，且磁場區域足夠大．在距離界線為h的P點有一宇航員處于靜止狀態，宇航員以平行于界線的速度拋出一質量為m、帶電荷量為-q的小球，發現球在界線處的速度方向與界線成60°角進入下部分磁場，然后當宇航員沿與界線平行的直線勻速到達目標Q時，剛好又接住球而靜止．求：
（1）小球在兩個磁場中運動的軌道半徑大小（用h表示）和小球的速度；
（2）宇航員的質量M（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）畫出在磁場中運動軌跡如圖所示，由幾何知識求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律求解小球在磁場中的速度大小；
（2）分別計算出粒子在B₁、B₂場中的運動時間，結合軌跡圖分析求得人的運動速度，宇航員拋球時相互作用滿足動量守恒，由此列式可求得宇航員的質量

解答：解：（1）小球在B₁、B₂中受洛侖茲力作用分別做半徑為R₁、R₂的勻速圓周運動，
據牛頓第二定律有 qv₀B₁=m

v 2 0

R1

，qv₀B₂=m

v 2 0

R2

解得 R₁=

mv0

qB1

，R₂=

mv0

qB2

如圖所示，據幾何關系有  h+

R1

2

=R₁  解得  R₁=2h  由于B₁=2B₂=2B₀所以 R₂=2 R₁=4h
則   v₀=

4qB0h

m

                       
（2）小球在B₁、B₂中做勻速圓周運動的周期分別為T₁、T₂
則 T₁=

2πR1

v0

=

πm

qB0

T₂=

2πR2

v0

=

2πm

qB0

小球在B₁中做勻速圓周運動的時間為  t₁=2×

T1

6

=

πm

3qB0

小球在B₂中做勻速圓周運動的時間為  t₂=

2T2

3

=

4πm

3qB0

故   t=t₁+t₂=

5πm

3qB0

設小球軌跡的圓心O₁與P點連線交邊界MN于P′，據幾何關系有

.

P′M

=

3

2

R1=

3

h

.

AM

=

3

2

R2=2

3

h

.

AP′

=

.

AM

-

.

P′M

=

3

h
故  

.

PQ

=2

.

AP′

=2

3

h
宇航員勻速運動速度  v=

. PQ

t

=

6 3 qB0h

5πm

宇航員拋球時相互作用滿足動量守恒  mv₀=Mv                          
解得  M=

mv0

v

=

10πm

3 3

=

10 3 πm

9

答：（1）小球在兩個磁場中運動的軌道半徑分別為2h，4h；小球的速度為

4qB0h

m

；
（2）宇航員的質量M=

10 3 πm

9

點評：本題關鍵是根據小球的運動正確的做出在磁場中的 運動軌跡圖，運動和幾何關系相結合列式分析，偏難題目．