Question

（12分）我國北方地區近年來遭遇嚴重的沙塵暴天氣，現把沙塵上揚后的情況簡化為如下情景：v為豎直向上的風速，沙塵顆粒被揚起后懸浮在空中（不動），這時風對沙塵的作用力相當于空氣不動而沙塵以速度 v豎直向下運動時所受的阻力。此阻力可用下式表達其中為一系數，A為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度。（球體體積）
（1）若沙粒的密度，沙塵顆粒為球形，半徑為r，地球表面處空氣密度，試估算在地面附近上述v的最小值。
（2）假定空氣密度隨高度h的變化關系為其中為h處的空氣密度，C為一常量，試估算當、揚沙穩定時的最大高度。（不考慮g隨高度的變化）

Answer 1

（1）
（2）

（1）沙粒懸浮在空中，所受阻力與重力平衡，即：
   ………………①
   ………………②
   ………………③
   ………………④
（2）由于高度增加，空氣密度減小，故當速度為時，隨著沙粒的上升，沙粒所受阻力減小，當沙粒所受阻力與重力平衡時，沙粒懸浮在空中不再上升，此時揚沙高度最大：


   ………………⑤
   ………………⑥
評分標準：①⑤式各3分，②③式各2分，④⑥式各1分。