Question

（2006?威海模擬）如圖所示為某鋼鐵廠的鋼軌傳送裝置，斜坡長為L=20m，高為h=2m，斜坡上緊排著一排滾筒．長為l=8m、質量為m=1×10³ kg的鋼軌ab放在滾筒上，鋼軌與滾筒間的動摩擦因數為μ=0.3，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉動，使鋼軌沿斜坡向上移動，滾筒邊緣的線速度均為v=4m/s．假設關閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉動，鋼軌對滾筒的總壓力近似等于鋼軌的重力．取當地的重力加速度g=10m/s²．試求：
（1）鋼軌從坡底（如圖示位置）從靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間；
（2）鋼軌從坡底（如圖示位置）從靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機至少要工作多長時間？

Answer 1

分析：（1）欲使b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，則鋼軌先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．
（2）欲使電動機工作的時間最短，鋼軌的最后一段運動要關閉電動機，鋼軌勻減速上升，即鋼軌先加速后勻速，最后減速；故電機工作時間等于除去減速外鋼軌的運動時間．

解答：解：（1）分析可知，欲使b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，則鋼軌先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動．鋼軌開始受到的滑動摩擦力為：
f₁=μmg=3×10³ N
根據牛頓第二定律  f₁-mg sinα=ma₁
解得：a₁=2 m/s²
鋼軌開始做勻加速運動的時間為  t₁=

v

a1

=2 s
位移為  s₁=

1

2

a₁t₁²=4 m
鋼軌做勻速直線運動的位移為 s₂=L-l-s₁=8 m
做勻速直線運動的時間為 t₂=

s2

v

=2 s
所需的最短時間為 t=t₁+t₂=4 s
（2）欲使電動機工作的時間最短，鋼軌的最后一段運動要關閉電動機，鋼軌勻減速上升，b端到達坡頂時速度剛好為零．
根據牛頓第二定律 f₁+mg sinα=ma₂
勻減速運動的加速度大小為 a₂=4 m/s²
歷時 t₃=

v

a2

=1s
位移為s₃=vt₃-

1

2

a₂t₃²=2 m
電動機至少要工作的時間為t4=t1+

L-l-S1-S3

v

=3.5s
答：（1）鋼軌從坡底從靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間為4s；
（2）鋼軌從坡底從靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機至少要工作3.5s時間？

點評：本題關鍵是明確鋼軌的運動規律，然后分階段根據牛頓第二定律求解加速度，再根據運動學公式列式求解．