Question

（24分）如圖(a)所示，水平放置的平行金屬板A和B間的距離為d，極長，B板的右側邊緣恰好是傾斜擋板NM上的一個小孔K，NM與水平擋板NP成60°角，K與N間的距離。現有質量為m帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點O以平行于金屬板方向OO＇的速度v₀不斷射入，不計粒子所受的重力。
（1）若在A、B板上加一恒定電壓U=U₀，則要使粒子穿過金屬板后恰好打到小孔K，求U₀的大小。
（2）若在A、B板上加上如圖（b）所示的電壓，電壓為正表示A板比B板的電勢高，其中，且粒子只在0~時間內入射，則能打到小孔K的粒子在何時從O點射入？
（3）在NM和NP兩檔板所夾的某一區域存在一垂直紙面向里的勻強磁場，使滿足條件（2）從小孔K飛入的粒子經過磁場偏轉后能垂直打到水平擋板NP上（之前與擋板沒有碰撞），求該磁場的磁感應強度的最小值。

Answer 1

（1）
（2）
（3）B

（1）帶電粒子做類平拋運動，則：
                                            ①（2分）
                                  ②（2分）
把代入①②式可得：
                        ③（2分）
（2）粒子在水平方向做勻速直線運動，粒子運動的時間均為，設粒子在t_x時刻進入金屬板，則在時刻開始做類拋運動，平拋的時間為t_x，則：
                              ④（4分）
把③代入④式可得：
                                             ⑤（2分）
（3）在射入的粒子，在進入K時豎直方向的分速度為v_y，則
              ⑥（2分）
                   ⑦（2分）
則，即粒子垂直MN板入射。如圖所示，粒子從K點入射后做勻速直線運動從D點開始進入磁場，粒子在進入磁場后，根據左手定則，所受的洛倫茲力斜向上，要使粒子能垂直打到水平擋板NP，則粒子需偏轉300°后從E射出，做勻速直線運動垂直打到NP。

粒子作圓周運動時，洛倫茲力提供向心力，即
                                     ⑧
可得                                   ⑨（2分）
要使B最小，則要半徑r最大，臨界情況是圓周運動的軌跡恰好跟兩擋板相切，如圖所示，根據對稱性圓周運動的圓心C、交點G位于∠MNP的角平分線上，則由幾何關系可得：

CDKF是邊長為r的正方形。則在三角形NCF中，有
，
可得，                            （4分）
。（2分）