Question

如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，A放在水
平地面上，B、C兩物體通過細繩繞過輕質定滑輪相連，C放在固定的足夠長光滑斜面上．用手按住C，使細線恰好伸直但沒有拉力，并保證ab段的細線豎直、cd段的細線與斜面平行．已知A、B的質量均為m，C的質量為M（M＞2m），細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統處于靜止狀態．釋放C后它沿斜面下滑，當A恰好要離開地面時，B獲得最大速度（B未觸及滑輪，彈簧始終處于彈性限度內，重力加速度大小為g）．求：
（1）釋放物體C之前彈簧的壓縮量；
（2）物體B的最大速度秒m；
（3）若C與斜面的動摩擦因數為μ，從釋放物體C開始到物體A恰好要離開地面時，細線對物體C所做的功．

Answer 1

分析：（1）據題意：釋放物體C之前細線恰好伸直但沒有拉力，彈簧所受的壓力等于a的重力，根據胡克定律求解彈簧的壓縮量x；
（2）當A恰好要離開地面時，地面對物體A的支持力為零，根據胡克定律求出此時彈簧的伸長量x′，則物體B上升的高度和物體C沿斜面下滑的距離等于x+x′．當物體B達最大速度時合力為零，根據平衡條件和三個物體和彈簧的機械能守恒，列式可求解物體B的最大速度．
（3）以三個物體和彈簧作為研究對象，據動能定理求出物體A恰好要離開地面時B、C的速度大小，再對C，運用動能定理求解細線對物體C所做的功．

解答：解：設斜面傾角為α
（1）細線恰好伸直，繩子拉力為零，設彈簧的壓縮量為x
對物體B受力分析有 mg=kx                               
得：x=

mg

k

；                                               
（2）當A恰好要離開地面時，地面對物體A的支持力為零，設彈簧的伸長量為x′
對物體A受力分析有 mg=kx′
因此物體B上升的高度和物體C沿斜面下滑的距離
   s=x+x′=

2mg

k

                                           
當物體B達最大速度時有  Mgsinα=2mg
以三個物體和彈簧作為研究對象，據機械能守恒定律有：
  Mgs?sinα-mgs=

1

2

(M+m)

v

2 m

                                 
解得：v_m=2mg

1 k(M+m)

；                                   
（3）以三個物體和彈簧作為研究對象，據動能定理有：
  Mgs?sinα-μMgscosα-mgs=

1

2

(M+m)v2
以物體C為研究對象，據動能定理有：
  W+Mgs?sinα-μMgscosα=

1

2

Mv2
 解得：W=-

2(mg)2

k(M+m)

(M+2m-μ

M2-4m2

)；
答：
（1）釋放物體C之前彈簧的壓縮量是

mg

k

；
（2）物體B的最大速度是2mg

1 k(M+m)

；
（3）若C與斜面的動摩擦因數為μ，從釋放物體C開始到物體A恰好要離開地面時，細線對物體C所做的功是-

2(mg)2

k(M+m)

(M+2m-μ

M2-4m2

)．

點評：對物體正確受力分析是正確解題的前提與關鍵，熟練應用系統的機械能守恒定律和動能定理即可正確解題．