Question

如圖7所示，豎直平面內的

3

4

圓弧形光滑軌道半徑為 R，A 端與圓心 O 等高，AD 為水平面，B 點為光滑軌道的最高點且在O 的正上方，一個小球在 A 點正上方某處由靜止釋放，自由下落至 A 點進入圓軌道并知通過 B 點時受到軌道的彈力為mg（從A點進入圓軌道時無機械能損失），最后落到水平面 C 點處．求：
（1）釋放點距 A 點的豎直高度 h和落點 C 到 A 點的水平距離x；
（2）如果將小球由h=R處靜止釋放，請問小球能否通過最高點B點，如果不能通過，請求出脫離圓軌道的位置E與O的連線與豎直方向夾角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）的關鍵是小球在B點時列出牛頓第二定律方程，再結合動能定理和平拋規律即可求解．
（2）的關鍵是先假設小球能到最高點，根據牛頓第二定律求出到達最高點的最小速度為

gR

，與動能定理矛盾，說明不能到達最高點，然后設出E與O點連線的夾角，再根據動能定理和脫離軌道時牛頓第二定律即可求解．

解答：解：（1）小球通過最高點B時，由牛頓第二定律，有：
mg+F_N=m

vB2

R

又F_N=mg
解得：vB=

2gR

設釋放點到A點高度為h，小球從釋放到運動至B點的過程中，
根據動能定理，有：mg（h-R）=

1

2

mvB2
解得：h=2R，
由平拋規律：R=

1

2

gt2
x=v_Bt，
聯立解得x=2R，所以C點距A點距離：△x=2R-R=R
即釋放點距A點的豎直高度h為2R，落點C到A點的水平距離為R．
（2）小球到達B點時最小速度為v，有：mg=m

v 2

R

若能到達最高點應滿足mgR=

1

2

mv2+mgR，顯然不可能成立，即不能到最高點．
設到最高點E的速度為v_E，
E與O的連線與豎直方向夾角θ，由動能定理有：mgR（1-cosθ）=

1

2

mvE2…①，
在E點脫離軌道時有：mgcosθ=m

vE2

R

…②
聯立①②解得：cosθ=

2

3

所以：sinθ=

5

3

答：（1）釋放點距 A 點的豎直高度 h和落點 C 到 A 點的水平距離為R；
（2）如果將小球由h=R處靜止釋放，小球不能通過最高點B點，小球脫離圓軌道的位置E與O的連線與豎直方向夾角的正弦值為

5

3

．

點評：小球在內側軌道到達最高點時的最小速度應滿足mg=m

v 2

R

，脫離軌道時應滿足mgcosθ=m

v 2

R

，小球運動過程可利用動能定理或機械能守恒定律列式求解，小球平拋運動則利用平拋規律求解．