Question

兩根電阻忽略不計的相同金屬直角導軌，如圖所示放置，相距為l，它們各有一邊在同一水平面內，另一邊垂直于水平面，且都足夠長．兩金屬桿ab、cd與導軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導軌之間的動摩擦因數均為μ，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等．回路總電阻為R，整個裝置處于豎直向上的勻強磁場中．現桿ab受到F=5.5+1.25t的水平外力作用，從水平導軌的最左端由靜止開始沿導軌做勻加速直線運動，桿cd也同時從靜止開始沿導軌向下運動．已知：i=2m，m_ab=1kg，m_cd=0.1kg，R=0.4Ω，μ=0.5，g取10m/s²．求：
（1）ab桿的加速度a的大小．
（2）磁感應強度B的大小．
（3）當cd桿達到最大速度時，ab桿的速度和位移的大小．
（4）請說出cd桿的運動全過程．

Answer 1

分析：（1）由題，分析可知，只有ab桿切割磁感線產生感應電動勢．以ab桿為研究對象，當t=0時，ab所受拉力F₀=5.5N，摩擦力為f₁=μm_abg，根據牛頓第二定律求出加速度．
（2）由于ab桿做勻加速運動，加速度保持不變．由感應電動勢公式、歐姆定律、安培力公式推導出任意時刻ab桿所受安培力的表達式，再由牛頓第二定律列式，得到各個力與加速度的關系式，任取t的值，代入求出B．
（3）分析cd桿受力情況和運動情況：cd桿水平方向受到安培力與導軌的彈力平衡，豎直方向受到重力和滑動摩擦力，先做變加速運動，當重力和滑動摩擦力后做勻速運動，推導出安培力與速度的關系式，由平衡條件求出速度．由運動學公式求出位移．
（4）cd桿的運動全過程是：先做加速度減小的加速運動，后做加速度增大的減速運動，最后靜止．

解答：解：（1）對ab桿：t=0，f₁=μm_abg=5N
當t=0時，加速度a=

F0-f

mab

代入得a=0.5m/s²
（2）由上知：ab桿由靜止開始以a=0.5m/s²的加速度沿導軌勻加速運動
由F_安=BIl，E=Blv，I=

E

R

得到安培力的表達式為
  F_安=

B2l2at

R

根據牛頓第二定律 F-F_安-f₁=m_aba
聯立以上各式，得
  F-

B2l2at

R

-μm_abg=m_aba
取t=1s代入數據，解得B=0.5T
（3）當cd桿下落過程達到最大速度時，cd桿受力平衡
則有 m_cdg=f₂=μF_安′
又F_安′=BI′l=

B2l2v′

R

聯立以上兩式并代入數據，解得v′=0.8m/s
棒的位移 s=

v′2

2a

=0.64m
（4）cd桿的運動全過程為先做加速度減小的加速運動，后做加速度增大的減速運動，最后靜止．   
答：
（1）ab桿的加速度a的大小0.5m/s²．
（2）磁感應強度B的大小為0.5T；
（3）cd桿下落過程達最大速度時，ab桿的速度大小為0.8m/s．位移大小為0.64m．
（4）cd桿的運動全過程為：先做加速度減小的加速運動，后做加速度增大的減速運動，最后靜止．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合應用，安培力的分析和計算是關鍵，難點在于求出t=0時刻ab桿的加速度．