Question

如圖所示，一輕質彈簧豎直固定在地面上，上面連接一個質量m₁=1.0kg的物體A，平衡時物體下表面距地面h₁= 40cm，彈簧的彈性勢能E₀=0.50J。在距物體m₁正上方高為h= 45cm處有一個質量m₂=1.0kg的物體B自由下落后，與物體Ａ碰撞并立即以相同的速度運動（兩物體粘連在一起），當彈簧壓縮量最大時，物體距地面的高度h₂=6.55cm。g=10m/s²。

已知彈簧的形變（拉伸或者壓縮）量為x時的彈性勢能，式中k為彈簧的勁度系數。求彈簧不受作用力時的自然長度l₀；

求兩物體做簡諧運動的振幅;

求兩物體運動到最高點時的彈性勢能。

Answer 1

【小題1】0.50m

【小題2】23.45cm

【小題3】6.0×10^-2J

解析:

【小題1】設物體A在彈簧上平衡時彈簧的壓縮量為x₁，彈簧的勁度系數為k

根據力的平衡條件有        m₁g=k x₁

        而

     解得：k=100N/m，  x₁=0.10m

     所以，彈簧不受作用力時的自然長度l₀=h₁+x₁=0.50m

【小題2】兩物體運動過程中，彈簧彈力等于兩物體總重力時具有最大速度，此位置就是兩物體粘合后做簡諧運動的平衡位置

設在平衡位置彈簧的壓縮量為x₂，則  （m₁+ m₂）g=kx₂， 解得：x₂=0.20m，

設此時彈簧的長度為l₂，則    l₂=l₀-x₂    ,解得：l₂=0.30m ,

當彈簧壓縮量最大時，是兩物體振動最大位移處，此時彈簧長度為h₂=6.55cm

    兩物體做簡諧運動的振幅A=l₂-h₂ =23.45cm

【小題3】設物體B自由下落與物體A相碰時的速度為v₁，則   

解得：v₁=3.0m/s，

    設A與B碰撞結束瞬間的速度為v₂，根據動量守恒   m₂ v₁=（m₁+ m₂）v₂，

解得：v₂=1.5 m/s，

    由簡諧運動的對稱性，兩物體向上運動過程達到最高點時，速度為零，彈簧長度為l₂+A=53.45cm

碰后兩物體和彈簧組成的系統機械能守恒，設兩物體運動到最高點時的彈性勢能E_P，則      

解得E_P＝6.0×10^-2J。