Question

【題目】電視機的顯像管中電子束的偏轉是應用磁偏轉技術實現的。如左圖所示為顯像管的原理示意圖。顯像管中有一個電子槍，工作時陰極發射的電子（速度很小，可視為零）經過加速電場加速后，穿過以O點為圓心、半徑為r的圓形磁場區域（磁場方向垂直于紙面），撞擊到熒光屏上使熒光屏發光。

已知電子質量為m，電荷量為e，加速電場的電壓為U，在沒有磁場時電子束通過O點打在熒光屏正中央的M點，OM間距離為S。電子所受的重力、電子間的相互作用力均可忽略不計，也不考慮磁場變化所激發的電場對電子束的作用。由于電子經過加速電場后速度很大，同一電子在穿過磁場的過程中可認為磁場不變。

(1)求電子束經偏轉磁場后打到熒光屏上時的速率；

(2)若磁感應強度B隨時間變化關系如下圖所示，其中 ，求電子束打在熒光屏上發光所形成的“亮線”長度。

(3)若其它條件不變，只撤去磁場，利用電場使電子束發生偏轉。把正弦交變電壓加在一對水平放置的矩形平行板電極上，板間區域有邊界理想的勻強電場。電場中心仍位于O點，電場方向垂直于OM。為了使電子束打在熒光屏上發光所形成的“亮線”長度與（2）中相同，問：極板間正弦交變電壓的最大值Um、極板長度L、極板間距離d之間需要滿足什么關系？（由于電子的速度很大，交變電壓周期較大，同一電子穿過電場的過程可認為電場沒有變化，是穩定的勻強電場）

Answer 1

【答案】(1) (2) (3),

【解析】

因為粒子在磁場中運動洛倫茲力不做功，所以根據動能定理求出電子射出加速電場時的速度大小，即為電子束經偏轉磁場后打到熒光屏上時的速率；粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，出磁場后做勻速直線運動，通過最大的偏轉角，結合幾何關系求出熒光屏上亮線的長度；類平拋運動利用運動的合成和分解，結合電場中牛頓第二定律，根據速度偏向角的幾何關系，聯立即可求出極板間正弦交變電壓的最大值Um，極板長度L、極板間距離d之間需要滿足的關系式；

解：(1)設經過電子槍中加速電場加速后，電子的速度大小為v

根據動能定理可得：

電子束經過磁場區域速度大小不變，電子束打在熒光屏上速率為：

(2)設電子在磁場中做圓周運動的半徑為R，運動軌跡如圖所示

根據幾何關系有：

洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律有：

當時，電子束經過磁場偏轉角為θ，此時電子在熒光屏上的落點距M點最遠，解得：

電子在熒光屏上落點距M點最遠距離：

熒光屏上亮線長度：

(3)若使電子束打在熒光屏上所形成亮線的長度與磁場中偏轉時相同，則電子束的最大偏轉角保持不變，即：

當電子達到最大偏轉角時，恰好從極板邊緣射出。

這種情況下，，即：

設此時兩極板間電壓為U1

由牛頓第二定律有：

由勻加速直線運動規律有：

且：

聯立解得：

當極板間電壓再大時，電子不能從極板邊界射出，故不會形成亮線，因此：

當電子達到最大偏轉角時，不是從極板邊界射出，即：，此時兩極板間電壓達到Um(電壓再增大，電子偏轉角增加，亮線長度增加)

由牛頓第二定律有：

由勻加速直線運動規律有：，

聯立解得：