Question

（2011?山西二模）質量分別為m₁和m₂的兩個小物塊用輕繩連接，繩跨過位于傾角α=30°的光滑斜面頂端的輕滑輪，滑輪與轉軸之間的摩擦不計，斜面固定在水平桌面上，如圖所示．第一次，m₁懸空，m₂放在斜面上，用t表示m₂自斜面底端由靜止開始運動至斜面頂端所需的時間．第二次，將m₁和m₂位置互換，使m₂懸空，m₁放在斜面上，發現m₁自斜面底端由靜止開始運動至斜面頂端所需的時間為

t

3

．求m₁與m₂之比．

Answer 1

分析：（1）兩物體通過輕繩相連可知，兩物體運動的加速度大小相等；
（2）互換m₁和m₂的位置，物體自斜面底端滑上斜面頂端時間之比為3：1，據物體向上做初速度為零的勻加速直線運動，由位移相等可得物體上滑的加速度之比；
（3）據物體的受力分析，根據牛頓第二定律列式可求兩種情況下物體的加速度大小之比；由物體受力得到的加速度之比和運動分析的加速度之比相等，列式可求兩兩物體的質量之比．

解答：解：第一次，小物塊受力情況如圖所示，設T₁為繩中張力，a₁為兩物塊加速度的大小，l為斜面長，則有
m₁g-T₁=m₁a₁                      ①
T₁-m₂gsinα=m₂a₁                ②
l=

1

2

a1t2                             ③
第二次，m₁與m₂交換位置．設繩中張力為T₂，兩物塊加速度的大小為a₂，則有
m₂g-T₂=m₂a₂          ④
T₂-m₁gsinα=m₁a₂     ⑤
l=

1

2

a2(

t

3

)2               ⑥
由 ①、②式注意到?α=30°得a1=

2m1-m2

2(m1+m2)

g     ⑦
由 ④、⑤式注意到?α=30°得a2=

2m2-m1

2(m1+m2)

g     ⑧
由 ③、⑥式得a1=

a2

9

                         ⑨
由 ⑦、⑧、⑨式可解得

m1

m2

=

11

19

            ⑩
答：m₁m₂之比為

m1

m2

=

11

19

點評：用隔離法求物體的加速度，通過正確的受力分析，根據牛頓第二定律列式求物體的加速度；通過對物體的運動分析，得出兩種情況下物體的加速度大小之比，結合受力得到的加速度和運動計算的加速度之比相等，列式可求得物體的質量之比．