Question

兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間距為l．導軌上面橫放著兩根導體棒PQ和MN，構成矩形回路，如圖所示．導體棒PQ的質量為m、MN的質量為2m，兩者的電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計．在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B．設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行．開始時，棒MN靜止處于距導軌右端為d處，PQ棒以大小為v₀的初速度從導軌左端開始運動（如圖）．忽略回路的電流對磁場產生的影響．
（1）求PQ棒剛開始運動時，回路產生的電流大小．
（2）若棒MN脫離導軌時的速度大小為

v0

4

，則回路中產生的焦耳熱是多少？
（3）若原來回路中靠近MN棒一側的導軌中串聯接有一個恒流電源，該電源使回路中的電流大小始終保持為I₀（沿PMNQP方向），試討論MN棒脫離導軌時速度v的大小與d的關系．

Answer 1

分析：（1）本題中兩根導體棒的運動情況：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流，由法拉第電磁感應定律，求出棒PQ產生的電動勢，再求出回路產生的電流大小；
（2）ab棒受到的與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動．在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速，兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動，由于平行金屬導軌位于同一水平面且兩棒均可沿導軌無摩擦地滑行，故由兩棒組成的系統所受的合外力為零，系統動量守恒mv₀=2mv，再由能量守恒求出焦耳熱的關鍵；
（3）回路中的電流始終保持為I₀，則棒PQ和MN所受的安培力大小保持不變．若d足夠長，則棒PQ先向右勻減速運動再向左勻加速運動，返回軌道左端時速度大小仍為v₀，而這個過程棒MN一直向右勻加速運動，使用動量守恒定律和動能定理可以求出結果．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應定律，棒PQ產生的電動勢E=Blv₀①
則回路產生的電流大小I=

Blv0

2R

②
（2）棒PQ和MN在運動過程中始終受到等大反向的安培力，系統的動量守恒，得mv0=mv1+2m?

v0

4

③
由能量守恒定律，回路中產生的焦耳熱為Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

-

1

2

2m(

v0

4

)2④
解得Q=

5

16

m

v

2 0

⑤
（3）回路中的電流始終保持為I₀，則棒PQ和MN所受的安培力大小保持不變．若d足夠長，則棒PQ先向右勻減速運動再向左勻加速運動，返回軌道左端時速度大小仍為v₀，而這個過程棒MN一直向右勻加速運動，由動量守恒定律得mv0=m(-v0)+2m

v

′ 2

⑥
設這個過程棒MN的位移為x，由動能定理得I0Blx=

1

2

2mv′

2 2

⑦
解得x=

m v 2 0

I0Bl

⑧
討論：
①當d＜

m v 2 0

I0Bl

時，棒MN在導軌上一直向右勻加速運動直到脫離導軌，由動能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脫離導軌時的速度v=

I0Bld m

⑨
②當d≥

m v 2 0

I0Bl

時，棒PQ先從導軌左端脫離導軌，棒MN之后保持勻速運動直到脫離導軌，脫離導軌時的速度v=v'₂=v₀⑩
答：（1）PQ棒剛開始運動時，回路產生的電流I=

Blv0

2R

；
（2）若棒MN脫離導軌時的速度大小為

v0

4

，則回路中產生的焦耳熱是Q=

5

16

m

v

2 0

；
（3）MN棒脫離導軌時速度v的大小與d的關系．①當d＜

m v 2 0

I0Bl

時，棒MN在導軌上一直向右勻加速運動直到脫離導軌，由動能定理得I0Bld=

1

2

2mv2
解得MN棒脫離導軌時的速度v=

I0Bld m

②當d≥

m v 2 0

I0Bl

時，棒PQ先從導軌左端脫離導軌，棒MN之后保持勻速運動直到脫離導軌，脫離導軌時的速度v=v'₂=v₀．

點評：點評：第一問半徑簡單，第二問是動量守恒定律、牛頓第二定律及能量守恒定律在電磁感應現象中的應用問題，分析兩棒組成的系統在運動過程中是不是合外力為零或者內力遠大于外力的系統總動量守恒的條件，從而為確定兩棒最后的末速度找到解決途徑是關鍵，之后分析這類電磁感應現象中的能量轉化較易：系統減少的動能轉化為回路的焦耳熱；第三問較為復雜：是動生電動勢、動量守恒定律、牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律綜合的力電綜合問題，故本題屬于難題．