Question

【題目】人民網北京7月6日電 據中國航天科技集團公司官網消息，6月19日，長征三號乙遙二十八火箭發射中星9A衛星過程中運載火箭出現異常，未能將衛星送入預定軌道。中航科技集團公司在西安衛星測控中心的密切配合下，通過準確實施10次軌道調整，衛星于7月5日成功定點于東經101.4°赤道上空的預定軌道。目前，衛星各系統工作正常，轉發器已開通，后續將按計劃開展在軌測試工作。

如圖所示，衛星圓軌道Ⅰ通過橢圓軌道Ⅱ調整至圓軌道Ⅲ，P點是圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ的切點，Q點橢圓軌道Ⅱ調和圓軌道Ⅲ的切點。已知中星9A衛星的質量為m=700kg，地球質量為M=5.98×1024kg，地球表面重力加速度g=9.80m/s2，地球半徑為R0=6400km，圓軌道Ⅰ的軌道半徑為1.5R0，圓軌道Ⅰ的軌道半徑為2.5R0，地面附近物體所受重力等于萬有引力，=1.41，=1.73，=2.34，地球同步衛星的軌道半徑為6.6R0、環繞周期為T0=8.64×104s。

求：

(1)衛星在圓軌道I、Ⅲ上運行的速度v1、v4各是多大？

(2)將衛星從圓軌道I送到圓軌道Ⅲ，至少要對衛星做多少功？

(3)以距離地球無限遠處為勢能零點，質量為m衛星距離地心為R時，其引力勢能為，且衛星在P點和Q點時，，則衛星在橢圓軌道P點、Q點的速度各是多大？

Answer 1

【答案】(1) (2)E=5.85×109 J (3)

【解析】

(1)衛星在圓軌道上最勻速圓周運動的過程中，萬有引力提供向心力，所以在圓軌道I上：

r1=1.5R0

又

所以：

代入數據得：

v1＝6.45km/s

同理在圓軌道Ⅲ上：

r0=2.5R0

所以：

代入數據得：

v4=5.00km/s

(2) 要把衛星從圓軌道I送到圓軌道Ⅲ，外力做的功等于衛星增加的機械能，由功能關系得：

代入數據，聯立得：

W=5.85×109J

(3) 衛星在橢圓軌道從P點到Q點的過程中機械能守恒，得：

又知道衛星在P點和Q點時，v2×1.5R0=v3×2.5R0，所以：

v2=7.21km/s；v3=4.33km/s