Question

（2009?閔行區二模）當物體從高空下落時，空氣對物體的阻力會隨物體的速度增大而增大，因此，物體下落一段距離后將會勻速下落，這個速度被稱為物體下落的收尾速度．研究發現，在相同環境條件下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑及質量有關．下表是某次研究的實驗數據：

小球	A	B	C	D	E
小球半徑r（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2.0	2.5
小球質量m（×10-6Kg）	2	5	45	40	100
小球收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

對表中數據分析發現：

小球	A	B	C	D	E
數據 比值	16×0．52 2 =2	40×0．52 5 =2	40×1．52 45 =2	20×22 40 =2	32×2．52 100 =2

（1）試根據表中數據，求出B、C兩球在達到收尾速度時，所受的空氣阻力比為

1：9

．
（2）試根據表中數據，歸納出球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關系式（寫出表達式、比例系數及其歸納運算過程）．

Answer 1

分析：（1）當結尾速度相同時，小球做勻速運動，重力等于阻力，所以編號為2、3的小球在達到收尾速度時所受的空氣阻力之比等于他們的重力之比．
（2）對表中數據分析發現：vr² 與m成正比，由收尾速度時 f=mg   得f與m、vr² 成正比即：f=kvr²，然后求出比例系統k，由歸納法得出結論．

解答：解：（1）編號為2、3的小球在達到收尾速度時所受的空氣阻力之比f₂：f₃=m₂g：m₃g=1：9．
（2）對表中數據分析發現：
即：

r2v

m

=2即    vr² 與m成正比     
由收尾速度時 f=mg   得f與m、vr² 成正比
 即：f=kvr²
求比例系數K：K=

mg

vr2

對A小球，K=

mAg

vArA2

=

2×10

16×0.52

=5（Ns/m³），
對B小球，

mBg

vBrB2

=

5×10

40×0.52

=5（Ns/m³），
對C小球，

mCg

vCrC2

=

45×10

40×1.52

=5（Ns/m³），
由歸納法得：k=5（Ns/m³），所以    f=5vr²．
答：（1）1：9；（2）球形物體所受的空氣阻力f與球的速度v及球的半徑r的關系式為  f=5vr²．

點評：本題考查收尾速度、小球半徑以及阻力的關系，關鍵知道物體達到收尾速度時重力等于阻力，要學會應用控制變量法解題，還要學會分析數據．