Question

（2006?紅橋區模擬）在光滑的水平軌道上有兩個半徑都是r的小球A和B，質量分別為m和2m，當兩球心間的距離大于L（L比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當兩球心間的距離等于或小于L時，兩球之間存在相互作用的恒定斥力F．設A球從遠離B球處以速度v₀沿球連心線向原來靜止的B球運動，如圖所示．欲使兩球不發生接觸，v₀必須滿足什么條件？

Answer 1

分析：A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐步減小，B球從靜止開始加速運動，兩球間的距離逐步減小．當A、B兩球的速度相等時，兩球間的距離最小．若此距離大于2 r，則兩球就不會接觸．結合牛頓第二定律和運動學公式求出v₀必須滿足的條件．

解答：解：A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐步減小，B球從靜止開始加速運動，兩球間的距離逐步減小．當A、B兩球的速度相等時，兩球間的距離最小．若此距離大于2 r，則兩球就不會接觸，所以不接觸的條件是
v₁=v₂
L+s₂-s₁＞2r
其中v₁、v₂為當兩球間距離最小時，A、B兩球的速度，s₁、s₂為兩球間距離從L變至最小的過程中，A、B兩球通過的路程．由牛頓第二定律，得
a1=

F

m

a2=

F

2m

設v₀為A球的初速度，則由勻加速運動公式，得
v₁=v₀-a₁t
v₂=a₂t
s1=v0t-

1

2

a1t2
s2=

1

2

a2t2
聯立以上各式解得v0＜

3F(F-2r) m

答：欲使兩球不發生接觸，v₀必須滿足v0＜

3F(F-2r) m

．

點評：解決本題的關鍵知道兩球速度相等時，有最短距離，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．