Question

【題目】用一彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果，已知地球質量為M，半徑為R，自轉周期為T，萬有引力常量為G，將地球視為質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。

（1）在地球北極地面和上空高出地面h處稱量，得到彈簧測力計的讀數分別為、，且它們的比值為，求的值；

（2）若在赤道地面稱量，彈簧測力計的讀數為，求比值的表達式；

（3）設想同步衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r，地球的半徑R二者均減小為現在的0.5倍，而地球的密度均勻且不變，僅考慮地球和衛星間的相互作用，該同步衛星的運動周期將變為多長？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）同步衛星的運動周期不變，仍為地球的自轉周期T

【解析】

（1）在地球北極點自轉的半徑為零，則彈簧測力計所稱得的重力為其萬有引力，有

①

②

聯立上式可得

（2）赤道位置，萬有引力為重力和自轉向心力的合力，有

③

聯立①③可得

（3）同步衛星的周期等于地球的自轉周期，即為T，設同步衛星的質量為m，R，r未有變化時有

④

R、r變化后有

⑤

其中，，

聯立④⑤，代入解得

即該同步衛星的運動周期不變。